Uma partícula numa caixa unidimensional está confinada na região e sujeita a um potencial constante . Ou seja, o operador hamiltoniano do sistema vale
onde é a massa da partícula.
(a) Encontre as energias e as funções de onda normalizadas deste problema, i.e., resolva a equação de Schrödinger independente do tempo
e encontre e .
(b) Para uma partícula nesta caixa no estado inicial
onde são auto-estados do hamiltoniano o estado fundamental e o primeiro estado excitado. Qual a probabilidade desta partícula ser encontrada na no meio da caixa no instante
(c) Calcule o valor esperado (ou o valor médio) da energia do estado inicial , i.e., calcule
onde
(d) Se for realizada uma medida da energia deste sistema quando você espera encontrar ou ?
Passo 1
O enunciado fala de uma partícula de massa confinada no intervalo sob potencial constante dentro do poço (e infinito fora, garantindo ). O conteúdo principal é resolver a equação de Schr"odinger independente do tempo para obter as autofunções e autovalores , depois usar superposição para calcular probabilidades e valores médios.
Passo 2
Escrevemos a equação de Schr"odinger independente do tempo dentro do poço:
ou seja
Passo 3
A solução geral é . As condições de contorno exigem , e impõe
Logo
e
Passo 4
Normalizando em ,
Assim
Passo 5
No instante o estado é
Em e dado
segue
A probabilidade de achar a partícula exatamente em (densidade de probabilidade) é
Se fizermos uma medida de energia, o sistema colapsa num autoestado e só podemos obter os autovalores E0 ou E1. Como |c0|^2=|c1|^2=1/2, cada um ocorre com probabilidade 1/2. O valor médio lang<= Erang<= não é o resultado de uma única medida, mas a média estatística de muitas.