Verifique se o seguinte campo vetorial é conservativo e, caso afirmativo, encontre o potencial que gera tal campo
V(x, y) & =e^x^2-y^2(x cos 2 x y-y sin 2 x y) x & -e^x^2-y^2(x sin 2 x y+y cos 2 x y) y

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
V(x,y)=P(x,y), x+Q(x,y), y
com
P(x,y)=e^x^2-y^2l(xcos(2xy)-ysin(2xy)r),
Q(x,y)=-,e^x^2-y^2l(xsin(2xy)+ycos(2xy)r),
e pede para verificar se é conservativo e, se sim, achar um potencial phi tal que nablaphi=vec V. Vamos usar a condição partial P/partial y=partial Q/partial x e depois integrar.

Passo 2

Calcular partial Ppartial y usando a regra do produto:
partial Ppartial y =e^x^2-y^2l(-2yr)l(xcos(2xy)-ysin(2xy)r) +e^x^2-y^2partialpartial yl(xcos(2xy)-ysin(2xy)r)
Ao desenvolver, obtém-se
partial Ppartial y =e^x^2-y^2l[-4xycos(2xy)-(2x^2-2y^2+1)sin(2xy)r]

Passo 3

Calcular partial Qpartial x. Como
Q=-e^x^2-y^2l(xsin(2xy)+ycos(2xy)r),
temos
partial Qpartial x =e^x^2-y^2l[-(2x^2-2y^2+1)sin(2xy)-4xycos(2xy)r]
Isso coincide exatamente com partial P/partial y, logo vec V é conservativo num domínio simplesmente conectado.

Passo 4

Procuramos phi tal que phix=P. Observamos que
partialpartial xl(e^x^2-y^2cos(2xy)r) =e^x^2-y^2l(2xcos(2xy)-2ysin(2xy)r) =2,P(x,y)
Logo, integrando,
phi(x,y)=integral P,dx =12,e^x^2-y^2cos(2xy)+h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 5

Para ajustar h(y), exigimos phiy=Q. Calculando
partialpartial yl[tfrac12e^x^2-y^2cos(2xy)r] =e^x^2-y^2l(-ycos(2xy)-xsin(2xy)r),
o que já coincide com Q. Portanto h'(y)=0 e h é constante.

Resposta

boxedphi(x,y)=tfrac12,e^x^2-y^2cos(2xy)+C,
com C constante, é o potencial que gera vec V.

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