Verifique se o seguinte campo vetorial é conservativo e, caso afirmativo, encontre o potencial que gera tal campo
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
com
e pede para verificar se é conservativo e, se sim, achar um potencial
tal que
. Vamos usar a condição
e depois integrar.
Passo 2
Calcular
usando a regra do produto:
Ao desenvolver, obtém-se
Passo 3
Calcular
. Como
temos
Isso coincide exatamente com
, logo
é conservativo num domínio simplesmente conectado.
Passo 4
Procuramos
tal que
. Observamos que
Logo, integrando,
onde
é função arbitrária de
.
Passo 5
Para ajustar
, exigimos
. Calculando
o que já coincide com
. Portanto
e
é constante.
Resposta
com
constante, é o potencial que gera
.