Se uma partícula está no estado inicial
psi(x, t=0)=sumn=0^N cn psin(x), cn in C,
com valores de cn dados. Onde psin(x) são soluções da equação de Schrödinger independente do tempo.
[-hbar^22 m d^2d x^2+V(x)] psin(x)=En psin(x)
Verifique que a seguinte evolução temporal
psi(x, t)=sumn=0^N cn exp (-ihbar En t) psin(x),
obedece a equação de Schrödinger dependente do tempo. Ou seja, o estado (2) acima é a evolução temporal do estado inicial (1).

Passo 1

No enunciado temos a superposição inicial
psi(x,0)=sumn=0^Ncn,psin(x)
e propõe-se a evolução
psi(x,t)=sumn=0^Ncnexp!l(-tfracihbarEntr)psin(x)
Queremos verificar que essa psi(x,t) satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo
ihbarpartialpartial tpsi(x,t) =l[-tfrachbar^22mtfracd^2dx^2+V(x)r]psi(x,t)
Para isso, usaremos a linearidade da derivada temporal e a equação de autovalor
l[-tfrachbar^22mtfracd^2dx^2+V(x)r]psin(x)=Enpsin(x)

Passo 2

Calculamos a derivada parcial em relação ao tempo termo a termo:
partialpartial tpsi(x,t) =sumn=0^Ncnl(-tfracihbarEnr) exp!l(-tfracihbarEntr)psin(x)
Multiplicando por ihbar obtemos
ihbarpartialpartial tpsi(x,t) =sumn=0^NcnEn,exp!l(-tfracihbarEntr)psin(x)

Passo 3

Agora aplicamos o Hamiltoniano em psi(x,t):
l[-tfrachbar^22mtfracd^2dx^2+V(x)r]psi(x,t) =sumn=0^Ncnexp!l(-tfracihbarEntr) l[-tfrachbar^22mtfracd^2dx^2+V(x)r]psin(x)
Pela equação de autovalor segue
l[-tfrachbar^22mtfracd^2dx^2+V(x)r]psi(x,t) =sumn=0^NcnEn,exp!l(-tfracihbarEntr)psin(x)

Passo 4

Comparando
ihbarpartialpartial tpsi(x,t) e l[-tfrachbar^22mtfracd^2dx^2+V(x)r]psi(x,t)
vemos que coincidem termo a termo na soma. Portanto psi(x,t) satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Resposta

A evolução temporal
psi(x,t)=sumn=0^Ncnexp!l(-tfracihbarEntr)psin(x)
de fato satisfaz
ihbarpartialpartial tpsi(x,t) =l[-tfrachbar^22mtfracd^2dx^2+V(x)r]psi(x,t)

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