Uma partícula de massa m está sujeita a um potencial atrativo na forma
V(x)=l 0,|x| >= a -V,|x|<a
(a) Se está partícula é atirada da direita para a esquerda (i.e., ela vem de +infty ) com uma energia E>0 qual a probabilidade dela ser refletida pelo potencial? (Observe que classicamente uma partícula jamais é refletida por um potencial atrativo.).
(b) Determine também a corrente incidente e transmitida associada a esta partícula.

Passo 1

O enunciado trata do espalhamento quântico de uma partícula de massa
Em (a) queremos a probabilidade de reflexão . Em (b) calculamos as correntes incidente e transmitida associadas. Para isso usaremos a solução da equação de Schr"odinger estacionária e as condições de contorno de continuidade de onda e de derivada em .

Passo 2

Definimos os números de onda nas regiões livre e interna ao poço:
k = raiz2mEhbar, q = raiz2m(E+V)hbar
Escolhemos as seguintes formas das funções de onda:
psiI(x> a)=e^-ikx+r,e^ikx, psiII(-a<x<a)=A,e^-iqx+B,e^iqx, psiIII(x<-a)=t,e^-ikx,
onde e^-ikx em I é o feixe incidente vindo de +infty, r é o coeficiente de reflexão e t o coeficiente de transmissão.

Passo 3

Aplicamos em x=+a e x=-a as condições
psiI(a)=psiII(a), psiI'(a)=psiII'(a), psiII(-a)=psiIII(-a), psiII'(-a)=psiIII'(-a)
Dessa manipulação (padrão em potenciais quadrados) obtém-se as amplitudes
r=(k^2 - q^2),sin(2qa)2,i,k,q,cos(2qa)-(k^2+q^2),sin(2qa), t=2,k,q2,k,q,cos(2qa)-i,(k^2+q^2),sin(2qa),e^-2ika

Passo 4

A probabilidade de reflexão é
R = |r|^2 = (k^2 - q^2)^2,sin^2(2qa) 4,k^2,q^2+(k^2 - q^2)^2,sin^2(2qa)
Análogo, a probabilidade de transmissão T=|t|^2 satisfaz T=1-R e vale
T = 4,k^2,q^2 4,k^2,q^2+(k^2 - q^2)^2,sin^2(2qa)

Passo 5

A corrente de probabilidade incidente é
jrm inc = hbar km,
a corrente refletida é
jrm ref = -,hbar km,|r|^2 = -,hbar km,R,
e a transmitida
jrm trans = hbar km,|t|^2 = hbar km,T

Resposta

(a)
R = (k^2 - q^2)^2,sin^2(2qa) 4,k^2,q^2+(k^2 - q^2)^2,sin^2(2qa),
com k=tfracraiz2mEhbar, q=tfracraiz2m(E+V)hbar.
(b)
jrm inc=hbar km, jrm trans=hbar km,4,k^2,q^2 4,k^2,q^2+(k^2 - q^2)^2,sin^2(2qa)

Exercícios relacionados