Uma partícula numa caixa unidimensional de tamanho
está sujeita a um potencial constante
. Ou seja, a equação de Schrödinger do sistema é:
onde
a massa da partícula.
(a) Encontre os níveis de energia
disponíveis para a partícula e as respectivas funções de onda
.
(b) Qual o valor médio da posição da partícula se ela está no estado fundamental?
(a) Encontre os níveis de energia
(b) Qual o valor médio da posição da partícula se ela está no estado fundamental?
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento
, com potencial interno constante
e paredes infinitas nas fronteiras. O objetivo é achar os autovalores de energia
e as autofunções
resolvendo a equação de Schrödinger
com
. Depois, vamos calcular o valor médio da posição no estado fundamental.
Passo 2
Dentro da caixa (
) o potencial é constante, então escrevemos
Definindo
a equação vira
cuja solução geral é
Impondo
dá
. Em seguida
implica
Logo
e os energias quantizadas são
Passo 3
Agora normalizamos
. Exigimos
Como
segue
. Portanto
Passo 4
No estado fundamental (
) calculamos
Por simetria do perfil
em torno de
, ou calculando diretamente, encontra-se
Resposta
\quad
\quad