Uma partícula numa caixa unidimensional de tamanho 2 L está sujeita a um potencial constante V. Ou seja, a equação de Schrödinger do sistema é:
[-hbar^22 m nabla^2+V] psi=E psi , V=const
onde m a massa da partícula.
(a) Encontre os níveis de energia En disponíveis para a partícula e as respectivas funções de onda psin.
(b) Qual o valor médio da posição da partícula se ela está no estado fundamental?

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m confinada numa “caixa” unidimensional de comprimento 2L, com potencial interno constante V e paredes infinitas nas fronteiras. O objetivo é achar os autovalores de energia En e as autofunções psin(x) resolvendo a equação de Schrödinger
l[-hbar^22md^2dx^2 + Vr]psi = Epsi
com psi(0)=psi(2L)=0. Depois, vamos calcular o valor médio da posição no estado fundamental.

Passo 2

Dentro da caixa ( 0<x<2L) o potencial é constante, então escrevemos
-hbar^22md^2psidx^2 = (E - V),psi
Definindo
k^2 = 2m,(E - V)hbar^2,
a equação vira
d^2psidx^2 + k^2psi = 0,
cuja solução geral é
psi(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)
Impondo psi(0)=0 B=0. Em seguida psi(2L)=0 implica
sinl(k,2Lr)=0 Longrightarrow k,2L = npi, n=1,2,3,dots
Logo
kn = npi2L,
e os energias quantizadas são
En = V + hbar^2kn^22m = V + n^2pi^2hbar^28,m,L^2,

Passo 3

Agora normalizamos psin(x)=Ansinl(tfracnpi x2Lr). Exigimos
integral0^2L|psin(x)|^2,dx = An^2integral0^2Lsin^2!l(npi x2Lr)dx = 1
Como
integral0^2Lsin^2!l(npi x2Lr)dx = L,
segue An = 1/raizL. Portanto
psin(x) = 1raizL sin!l(npi x2Lr), n=1,2,3,dots, 0<x<2L

Passo 4

No estado fundamental ( n=1) calculamos
lang<= xrang<= = integral0^2L psi1^*(x),x,psi1(x),dx = 1Lintegral0^2L x,sin^2!l(pi x2Lr)dx
Por simetria do perfil sin^2l(tfracpi x2Lr) em torno de x=L, ou calculando diretamente, encontra-se
lang<= xrang<= = L

Resposta

En = V + dfracn^2pi^2hbar^28mL^2,
\quad
psin(x) = dfrac1raizLsin!l(tfracnpi x2Lr),
\quad
lang<= xrang<=fund = L

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