Uma partícula de carga +10 e com velocidade 5 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} adentra um espectrômetro de massa, onde descreve um movimento circular uniforme de raio 4,0 \mu \mathrm{~m} em um campo magnético uniforme \mathrm{B}=2 \mathrm{mT}. Qual é a energia cinética da partícula em eV (Considere a carga \mathrm{e}=1,610^{-19} )?
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Passo 1

O enunciado pede a energia cinética da partícula em elétron-volt ( \mathrm{eV}). Dados fornecidos:
  • Carga da partícula: +10e (ou seja, q=10\cdot e).
  • Valor da carga elementar fornecido: e=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Velocidade: v=5\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
  • Raio da trajetória circular: r=4{,}0\\ \mu\mathrm{m}.
  • Campo magnético uniforme: B=2\\ \mathrm{mT}.
As perguntas implícitas são:
  • Calcular a energia cinética em joules e converter para \mathrm{eV}.
  • Apresentar o resultado numérico final em \mathrm{eV}.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter todas as grandezas para unidades do Sistema Internacional (SI).
  • A carga elementar já em SI: e=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Então q=10\cdot e = 10\cdot(1,6\times10^{-19}) = 1,6\times10^{-18}\\ \mathrm{C}.
  • Campo magnético: B=2\\ \mathrm{mT}=2\times10^{-3}\\ \mathrm{T}.
  • Raio: r=4{,}0\\ \mu\mathrm{m}=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade já em SI: v=5\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora a física por trás (aula rápida e prática):
  • A força magnética sobre uma partícula de carga q movendo-se com velocidade \vec{v} perpendicular a um campo magnético \vec{B} tem módulo
F_{B}=q\,v\,B.
Expliquei: isso vem da regra da força de Lorentz \vec{F}=q\,\vec{v}\times\vec{B}; quando \vec{v}\perp\vec{B} o módulo é qvB.
  • Para movimento circular uniforme de raio r e velocidade v, a força centrípeta necessária é
F_{c}=\frac{m v^{2}}{r},
onde m é a massa da partícula.
  • No espectrômetro, a força magnética fornece a força centrípeta, logo igualamos:
q\,v\,B=\frac{m v^{2}}{r}.

Passo 4

Objetivo: obter a energia cinética K. A energia cinética é
K=\frac{1}{2}m v^{2}.
Da igualdade do passo anterior podemos isolar m ou manipular para K diretamente. Isolando m
m=\frac{q B r}{v}.
Substituindo em K,
K=\frac{1}{2}\,m v^{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{q B r}{v}\right)v^{2}=\frac{1}{2}\,q\,B\,r\,v.
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
K=\frac{1}{2}\,q\,B\,r\,v.
Explicação curta: foi usada a relação entre força magnética e centrípeta para eliminar m e obter K em termos de quantidades conhecidas.

Passo 5

Agora substituímos os números (todos em SI) na expressão \;K=\dfrac{1}{2}qBrv\;.
  • Primeiro, q=1,6\times10^{-18}\\ \mathrm{C}.
  • Calcular o produto B\,r\,v:
B\,r\,v=(2\times10^{-3})\cdot(4{,}0\times10^{-6})\cdot(5\times10^{5}).
Fazendo por partes:
(2\times10^{-3})\cdot(4{,}0\times10^{-6})=8{,}0\times10^{-9},
8{,}0\times10^{-9}\cdot(5\times10^{5})=40{,}0\times10^{-4}=4{,}0\times10^{-3}.
  • Agora K=\dfrac{1}{2}\,q\,(B r v)=\dfrac{1}{2}\cdot(1,6\times10^{-18})\cdot(4{,}0\times10^{-3}).
    Calcule passo a passo:
\dfrac{1}{2}\cdot(1,6\times10^{-18})=8{,}0\times10^{-19},
8{,}0\times10^{-19}\cdot(4{,}0\times10^{-3})=32{,}0\times10^{-22}=3{,}2\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia cinética em joules é
K=3{,}2\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Converter para elétron-volt usando 1\\ \mathrm{eV}=1,6\times10^{-19}\\ \mathrm{J} (valor provido no enunciado):
K_{\mathrm{(eV)}}=\frac{K_{\mathrm{(J)}}}{1,6\times10^{-19}}=\frac{3{,}2\times10^{-21}}{1,6\times10^{-19}}.
Dividindo:
\frac{3{,}2}{1,6}=2{,}0,\qquad 10^{-21}/10^{-19}=10^{-2},
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K_{\mathrm{(eV)}}=2{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{eV}=0{,}02\\ \mathrm{eV}.
Pequeno comentário amigo: a energia é bem pequena (da ordem de centésimos de eV), o que faz sentido por se tratar de uma partícula com raio micrométrico e campo magnético fraco.

Resposta

2{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{eV}

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