Uma espira quadrada de lado \mathrm{L}=2 \mathrm{~m} é colocada com metade de sua área em uma região com campo magnético variável na forma B(t)=24-3 t T. Supondo que a espira tenha uma bateria de 12 v e uma resistência de 2 \Omega, determine:
a) A força eletromotriz resultante na espira: \_\_\_\_ (2,0 pts)
b) A corrente resultante sobre a espira: \_\_\_\_ (1,0 pts)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Lado da espira: L=2\\ \mathrm{m}.
    • Campo magnético variável: B(t)=24-3t (em tesla), onde t está em segundos.
    • Metade da área da espira está imersa na região onde há o campo magnético.
    • Há uma bateria de força eletromotriz E_{\mathrm{bat}}=12\\ \mathrm{V} ligada à espira.
    • Resistência total do circuito: R=2\\ \Omega.
  • O que é pedido:
    (a) A força eletromotriz resultante na espira (ou seja, a força eletromotriz total que age no circuito, levando em conta a bateria e a fem induzida).
    (b) A corrente resultante que circula na espira.

Passo 2

Calcular a área da parte da espira que está atravessada pelo campo magnético.
  • Área total da espira quadrada: \,A_{\text{total}}=L^{2}\,.
  • Como metade da área está no campo, a área efetiva que contribui para o fluxo magnético é
A=\frac{L^{2}}{2}.
Substituindo L=2\\ \mathrm{m}:
A=\frac{(2)^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Definir fluxo magnético e calcular \Phi(t).
  • O fluxo magnético por uma superfície plana com campo perpendicular é \Phi(t)=B(t)\,A, onde:
    • \Phi é o fluxo em weber (Wb),
    • B(t) é o campo magnético em tesla (T),
    • A é a área perpendicular em metros quadrados (m ^2).
  • Aqui o campo é dado por B(t)=24-3t e A=2. Logo:
\Phi(t)=B(t)\,A=(24-3t)\cdot 2 = 48-6t\\ \text{(Wb)}.

Passo 4

Usar a Lei de Faraday para obter a fem induzida.
  • A Lei de Faraday diz que a força eletromotriz induzida em uma espira é
\varepsilon_{\text{ind}}=-\frac{d\Phi}{dt},
onde o sinal negativo é a manifestação da Lei de Lenz (a fem induzida tende a se opor à variação do fluxo).
  • Derivando \Phi(t)=48-6t em relação a t:
\frac{d\Phi}{dt}=-6\\ \text{(Wb/s)}.
  • Portanto a fem induzida é
\varepsilon_{\text{ind}}=-\left(-6\right)=6\\ \mathrm{V}.
  • Interpretação física rápida: o fluxo está diminuindo (derivada negativa), então a fem induzida tem sentido que tenta aumentar o fluxo — numericamente o valor é 6\\ \mathrm{V}. O sinal indica orientação, mas aqui estamos interessados também no valor absoluto e em como ela se combina com a bateria.

Passo 5

Decidir como combinar a fem induzida com a bateria para obter a força eletromotriz resultante.
  • A fem induzida, por Lenz, age no sentido de opor a variação do fluxo. Como não foi dada a orientação explícita da bateria em relação ao sentido do campo, em problemas típicos assume-se que a fem induzida atua de modo a se opor à fem da fonte (isto é, tende a reduzir a corrente imposta pela bateria). Essa é a interpretação padrão quando se pergunta pela “fem resultante” do circuito composto por bateria + fem induzida.
  • Assim, a fem resultante no circuito é a soma algébrica da fem da bateria com a fem induzida, tomando a fem induzida com o sinal que a opõe à bateria. Numericamente ficamos com
\mathcal{E}_{\text{res}}=E_{\mathrm{bat}}-\varepsilon_{\text{ind}}.
  • Substituindo os valores:
\mathcal{E}_{\text{res}}=12\\ \mathrm{V}-6\\ \mathrm{V}=6\\ \mathrm{V}.
(Se fosse conhecida a orientação e fosse o contrário, a soma algébrica poderia ser 12+6. Mas a interpretação adotada é a convencional: a fem induzida se opõe à fonte, portanto subtrai-se.)

Passo 6

Calcular a corrente resultante usando a lei de Ohm.
  • A corrente no circuito dada a fem resultante \mathcal{E}_{\text{res}} e resistência R é
I=\frac{\mathcal{E}_{\text{res}}}{R}.
  • Substituindo \mathcal{E}_{\text{res}}=6\\ \mathrm{V} e R=2\\ \Omega,
I=\frac{6}{2}=3\\ \mathrm{A}.
  • Interpretação: 3\\ \mathrm{A} é o valor da corrente líquida que passa pela espira considerando a bateria e a fem induzida (no sentido definido como positivo para a bateria).

Resposta

a) \mathcal{E}_{\text{res}}=6\\ \mathrm{V}
b) I=3\\ \mathrm{A}

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