Uma partícula carregada, carga q, se move no campo de uma carga puntiforme q^prime, com q q^prime>0. Inicialmente ela está se aproximando do centro de força com velocidade v (longas distâncias) ao longo de uma trajetória que, seguindo em uma linha reta, passaria a uma distância b do centro. Encontre a distância de maior aproximação.

Passo 1

O problema descreve uma partícula de carga q que se aproxima de uma carga pontual q’ com q q’ > 0, vindo de r → ∞ com velocidade v e impacto b. O conteúdo é força central coulômbica, e vamos usar conservação de energia e de momento angular para achar a distância de maior aproximação rₘᵢₙ.

Passo 2

Na ausência de torques externos, o momento angular L em relação ao centro de força é conservado. Como a partícula chega de muito longe com velocidade v e distância de impacto b, temos:
L = m v b
e em qualquer outro ponto da trajetória vale
L = m r^2 dottheta onde r e θ são coordenadas polares e \dot{\theta}=d\theta/dt.

Passo 3

A energia total E também é constante. No infinito, a energia é puramente cinética, então
E = tfrac12 m v^2
Em um ponto genérico (r,θ), a energia é soma de cinética radial e angular mais a potencial coulômbica:
$$
E = \tfrac12 m (\dot r^2 + r^2 \dot{\theta}^2) + \frac{K q q

Resposta

rmin = K q q'm v^2 + raizl(K q q'm v^2r)^2 + b^2.

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