(2^{2}) ) Uma partícula carregada entra numa região que contém um campo magnético apontando perpendicularmente para fora do plano, com velocidade
\vec{V} perpendicular ao campo B.
a) Determine o raio r^{\prime} do movimento circular.
b) Sabendo a frequència angular w é dada por w=\frac{V}{r}, onde V é a velocidade da particula, r o raio do movimento circular e y=\frac{W}{2 \pi} sua frequéncia, determine a frequéncia v do movimento circular.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de carga q e massa m entra com velocidade \vec V numa região com campo magnético uniforme \vec B saindo perpendicularmente ao plano (logo \vec V\perp\vec B). Ela descreve um movimento circular uniforme. Queremos:
a) o raio r' desse círculo;
b) a frequência de revoluções v.
Para resolver, vamos usar a força magnética (força de Lorentz) como força centrípeta e as relações entre velocidade tangencial, raio, frequência angular e frequência.

Passo 2

A força magnética tem módulo
F_B = q\,V\,B
e deve fornecer a força centrípeta
F_c = \frac{m\,V^2}{r'}.
Igualando F_B = F_c resulta
q\,V\,B = \frac{m\,V^2}{r'}.
Dessa igualdade isolamos r':
r' = \frac{m\,V^2}{q\,V\,B} = \frac{m\,V}{q\,B}.

Passo 3

A frequência angular \omega do movimento circular é dada por
\omega = \frac{V}{r'}.
Substituindo r' = \tfrac{m\,V}{q\,B} obtemos
\omega = \frac{V}{\tfrac{m\,V}{q\,B}} = \frac{q\,B}{m}.

Passo 4

A frequência de revoluções v (também chamada de frequência própria ou cíclica) relaciona-se com \omega por
v = \frac{\omega}{2\pi}.
Logo, usando \omega = \tfrac{q\,B}{m}, temos
v = \frac{1}{2\pi}\,\frac{q\,B}{m} = \frac{q\,B}{2\pi\,m}.

Resposta

a) \displaystyle r' = \frac{m\,V}{q\,B}.
b) \displaystyle v = \frac{q\,B}{2\pi\,m}.

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