Como o teorema da equipartição de energia foi modificado para descrever um conjunto de partículas em equilíbrio térmico, mas que não possuem a mesma energia?

Passo 1

O enunciado pergunta como o teorema da equipartição de energia, que originalmente atribui a cada grau de liberdade quadrático a mesma energia, foi estendido para um conjunto de partículas em equilíbrio térmico cujas energias individuais variam. O conteúdo central é a Mecânica Estatística no ensemble canônico e o que precisamos é do conceito de função de partição e de média estatística de energia.

Passo 2

No ensemble canônico cada microestado i com energia E_i tem probabilidade
P_i = \frac{e^{-E_i/(k_B T)}}{Z},
onde
Z = \sum_i e^{-E_i/(k_B T)}
é a função de partição, k_B a constante de Boltzmann e T a temperatura. Como as partículas trocam energia com o reservatório térmico, suas energias individuais E_i flutuam, mas podemos falar em valor médio.

Passo 3

A energia média do sistema é
\langle E \rangle = \sum_i E_i\,P_i = -\frac{\partial}{\partial \beta}\ln Z\quad\text{com}\;\beta=\frac{1}{k_B T}.
Quando o Hamiltoniano é soma de termos quadráticos, por exemplo \displaystyle H=\sum_j \alpha_j x_j^2
ou em coordenadas de momento \displaystyle H=\sum_j \frac{p_j^2}{2m_j}+\dots,
pode–se mostrar que, para cada termo quadrático,
\big\langle \alpha_j x_j^2\big\rangle = \frac{1}{2}\,k_B T \quad\text{e}\quad \big\langle \frac{p_j^2}{2m_j}\big\rangle = \frac{1}{2}\,k_B T.

Passo 4

Em forma mais geral o teorema fica
\big\langle q_\ell \,\frac{\partial H}{\partial q_\ell}\big\rangle = k_B T \quad\text{e}\quad \big\langle p_\ell \,\frac{\partial H}{\partial p_\ell}\big\rangle = k_B T,
para cada coordenada q_\ell ou momento conjugado p_\ell. Assim, em vez de todas as partículas terem exatamente igual energia, elas distribuem-se segundo a lei de Maxwell–Boltzmann
f(E)\propto g(E)\,e^{-E/(k_B T)},
e a equipartição vale para as médias dessas distribuições.

Passo 5

Para um gás ideal monoatômico com três graus de liberdade de movimento por partícula, a energia cinética média por partícula é
\big\langle \varepsilon\big\rangle = \frac{3}{2}\,k_B T,
mesmo que cada partícula, num dado instante, apresente uma energia diferente.

Resposta

O teorema da equipartição foi reformulado no ensemble canônico, onde as energias individuais flutuam segundo a distribuição de Maxwell–Boltzmann, de modo que cada grau de liberdade quadrático contribui, em média, com \tfrac{1}{2}k_BT. Em forma geral vale
\big\langle q_\ell \,\frac{\partial H}{\partial q_\ell}\big\rangle = \big\langle p_\ell \,\frac{\partial H}{\partial p_\ell}\big\rangle = k_B T,
e não que todas as partículas tenham exatamente a mesma energia instantânea.

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