Como o teorema da equipartição de energia foi modificado para descrever um conjunto de partículas em equilíbrio térmico, mas que não possuem a mesma energia?
Passo 1
O enunciado pergunta como o teorema da equipartição de energia, que originalmente atribui a cada grau de liberdade quadrático a mesma energia, foi estendido para um conjunto de partículas em equilíbrio térmico cujas energias individuais variam. O conteúdo central é a Mecânica Estatística no ensemble canônico e o que precisamos é do conceito de função de partição e de média estatística de energia.
Passo 2
No ensemble canônico cada microestado
com energia
tem probabilidade
onde
é a função de partição,
a constante de Boltzmann e
a temperatura. Como as partículas trocam energia com o reservatório térmico, suas energias individuais
flutuam, mas podemos falar em valor médio.
Passo 3
A energia média do sistema é
Quando o Hamiltoniano é soma de termos quadráticos, por exemplo
ou em coordenadas de momento ,
pode–se mostrar que, para cada termo quadrático,
ou em coordenadas de momento
pode–se mostrar que, para cada termo quadrático,
Passo 4
Em forma mais geral o teorema fica
para cada coordenada
ou momento conjugado
. Assim, em vez de todas as partículas terem exatamente igual energia, elas distribuem-se segundo a lei de Maxwell–Boltzmann
e a equipartição vale para as médias dessas distribuições.
Passo 5
Para um gás ideal monoatômico com três graus de liberdade de movimento por partícula, a energia cinética média por partícula é
mesmo que cada partícula, num dado instante, apresente uma energia diferente.
Resposta
O teorema da equipartição foi reformulado no ensemble canônico, onde as energias individuais flutuam segundo a distribuição de Maxwell–Boltzmann, de modo que cada grau de liberdade quadrático contribui, em média, com
. Em forma geral vale
e não que todas as partículas tenham exatamente a mesma energia instantânea.