8-1 Uma partícula carregada, de massa m e carga q, desloca-se num campo de indução magnética uniforme \mathbf{B}_{0}. Demonstre que o movimento mais geral da partícula descreve uma hélice cuja seção reta é um círculo de raio R=m v_{\perp} / q B. (Aqui v_{\perp} é a componente da velocidade da partícula perpendicular a \mathrm{B}_{0}.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma partícula de massa m e carga q, submetida apenas à força de Lorentz num campo magnético uniforme \mathbf{B}_{0}, descreve uma hélice de raio
R = \frac{m\,v_{\perp}}{q\,B_{0}},
onde v_{\perp} é a componente da velocidade perpendicular a \mathbf{B}_{0}. Vamos usar a equação de movimento de Newton com a força magnética e decompor a velocidade em componentes paralela e perpendicular a \mathbf{B}_{0}.

Passo 2

Escrevemos a segunda lei de Newton incluindo a força de Lorentz:
m\,\frac{d\mathbf{v}}{dt} \;=\; q\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}_{0}.
Escolhemos o eixo z na direção de \mathbf{B}_{0}, de modo que \mathbf{B}_{0}=B_{0}\,\hat{\mathbf{e}}_{z}. Decompomos então
\mathbf{v} = \mathbf{v}_{\perp} + v_{z}\,\hat{\mathbf{e}}_{z},
com \mathbf{v}_{\perp} no plano xy. Substituindo na equação de movimento notamos que \mathbf{v}_{\perp}\times\hat{\mathbf{e}}_{z} está no próprio plano xy, enquanto v_{z}\,\hat{\mathbf{e}}_{z}\times\hat{\mathbf{e}}_{z}=0.

Passo 3

Das componentes no plano xy obtemos o sistema
m\frac{dv_{x}}{dt} = q\,v_{y}B_{0}, \quad m\frac{dv_{y}}{dt} = -q\,v_{x}B_{0}.
Definindo a frequência ciclotrônica
\omega = \frac{q\,B_{0}}{m},
podemos escrever
\frac{dv_{x}}{dt} = \omega\,v_{y}, \quad \frac{dv_{y}}{dt} = -\omega\,v_{x}.
Diferenciando a primeira equação e substituindo a segunda resulta em
\frac{d^{2}v_{x}}{dt^{2}} + \omega^{2}v_{x} = 0,
o que mostra que v_{x} e, analogamente, v_{y} sofrem oscilações harmônicas de frequência \omega. Assim, a partícula descreve movimento circular uniforme no plano xy com velocidade constante v_{\perp} e raio
R = \frac{v_{\perp}}{\omega} = \frac{m\,v_{\perp}}{q\,B_{0}}.

Passo 4

Na direção z a equação de movimento é
m\frac{dv_{z}}{dt} = 0
pois \mathbf{v}\times\mathbf{B}_{0} não tem componente em z. Logo v_{z} é constante e
z(t) = v_{z}\,t + z_{0},
descrita por um movimento retilíneo uniformemente variado em z.

Passo 5

Combinando o movimento circular uniforme em xy de raio R e a progressão retilínea em z, obtemos uma hélice: no plano xy a partícula gira em círculo de raio
R = \frac{m\,v_{\perp}}{q\,B_{0}}
enquanto avança em z com velocidade constante v_{z}.

Resposta

A trajetória é uma hélice de raio
R = \frac{m\,v_{\perp}}{q\,B_{0}}.

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