8-1 Uma partícula carregada, de massa
e carga
, desloca-se num campo de indução magnética uniforme
. Demonstre que o movimento mais geral da partícula descreve uma hélice cuja seção reta é um círculo de raio
. (Aqui
é a componente da velocidade da partícula perpendicular a
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma partícula de massa
e carga
, submetida apenas à força de Lorentz num campo magnético uniforme
, descreve uma hélice de raio
onde
é a componente da velocidade perpendicular a
. Vamos usar a equação de movimento de Newton com a força magnética e decompor a velocidade em componentes paralela e perpendicular a
.
Passo 2
Escrevemos a segunda lei de Newton incluindo a força de Lorentz:
Escolhemos o eixo
na direção de
, de modo que
. Decompomos então
com
no plano
. Substituindo na equação de movimento notamos que
está no próprio plano
, enquanto
.
Passo 3
Das componentes no plano
obtemos o sistema
Definindo a frequência ciclotrônica
podemos escrever
Diferenciando a primeira equação e substituindo a segunda resulta em
o que mostra que
e, analogamente,
sofrem oscilações harmônicas de frequência
. Assim, a partícula descreve movimento circular uniforme no plano
com velocidade constante
e raio
Passo 4
Na direção
a equação de movimento é
pois
não tem componente em
. Logo
é constante e
descrita por um movimento retilíneo uniformemente variado em
.
Passo 5
Combinando o movimento circular uniforme em
de raio
e a progressão retilínea em
, obtemos uma hélice: no plano
a partícula gira em círculo de raio
enquanto avança em
com velocidade constante
.
Resposta
A trajetória é uma hélice de raio