Seja \vec{r} uma função vetorial derivável lisa. Indique se é verdadeiro ou falso:
(a) \frac{d}{d t}|\vec{r}(t)|=\left|\vec{r}^{\prime}(t)\right|
(b) se \frac{d}{d t}|\vec{r}(t)|=0 para todo t, então \vec{r}^{\prime}(t) e \vec{r}(t) são ortogonais para todo t.

Passo 1

O enunciado dá uma função vetorial derivável e lisa \vec{r}(t). Precisa decidir se são verdadeiras ou falsas as duas afirmações seguintes:
(a) \dfrac{d}{dt}|\vec{r}(t)|=\left|\vec{r}^{\prime}(t)\right|.
(b) Se \dfrac{d}{dt}|\vec{r}(t)|=0 para todo t, então \vec{r}^{\prime}(t) e \vec{r}(t) são ortogonais para todo t.
Informações relevantes dadas:
  • \vec{r}(t) é diferenciável (logo \vec{r}'(t) existe).
  • As questões pedem apenas classificar cada afirmação como verdadeira ou falsa e justificar.

Passo 2

Vamos obter uma fórmula útil: a derivada do comprimento (norma) de um vetor a partir de \vec{r}(t). Primeiro lembro duas coisas simples que vou usar:
  • O produto escalar de um vetor por ele mesmo é o quadrado da norma:
\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)=|\vec{r}(t)|^{2}.
  • Regra da cadeia e linearidade da derivada para o produto escalar: se \vec{r} é diferenciável, então
\frac{d}{dt}\big(\vec{r}\cdot\vec{r}\big)=2\,\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}.
Agora escrevo |\vec{r}| como raiz quadrada:
|\vec{r}(t)|=\sqrt{\vec{r}(t)\cdot\vec{r}(t)}.
Aplicando a regra da cadeia (derivada de \sqrt{\cdot}) e usando a derivada do produto escalar,
\frac{d}{dt}|\vec{r}(t)|=\frac{1}{2\sqrt{\vec{r}\cdot\vec{r}}}\cdot\frac{d}{dt}\big(\vec{r}\cdot\vec{r}\big) =\frac{1}{2|\vec{r}|}\cdot 2\,\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime} =\frac{\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}}{|\vec{r}|},
desde que |\vec{r}(t)|\neq 0 no ponto considerado.
Observação técnica: a dedução acima usa divisão por |\vec{r}|, portanto é válida onde |\vec{r}(t)|\neq 0. Para tratar pontos em que |\vec{r}(t)|=0 é mais conveniente derivar |\vec{r}|^{2} e obter
\frac{d}{dt}|\vec{r}(t)|^{2}=2\,\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime},
o que evita dividir por zero.

Passo 3

Usando a fórmula \dfrac{d}{dt}|\vec{r}|=\dfrac{\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}}{|\vec{r}|} (quando |\vec{r}|\neq0), compare-a com \left|\vec{r}^{\prime}\right|.
Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz temos
|\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}|\le|\vec{r}|\,|\vec{r}^{\prime}|.
Dividindo por |\vec{r}| (quando não zero),
\left|\frac{\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}}{|\vec{r}|}\right|\le|\vec{r}^{\prime}|.
Portanto, em geral \dfrac{d}{dt}|\vec{r}| não precisa ser igual a |\vec{r}'|; no máximo em módulo é menor ou igual. A igualdade
\frac{d}{dt}|\vec{r}|=\left|\vec{r}^{\prime}\right|
ocorre exatamente quando \vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}=|\vec{r}|\,|\vec{r}^{\prime}|, isto é, quando o ângulo entre \vec{r} e \vec{r}^{\prime} satisfaz \cos\theta=1: os vetores são paralelos e apontam no mesmo sentido.
Um contraexemplo simples mostra que (a) é falsa: escolha
\vec{r}(t)=(\cos t,\sin t).
Então |\vec{r}(t)|=1 para todo t, logo \dfrac{d}{dt}|\vec{r}(t)|=0. Mas
\vec{r}^{\prime}(t)=(-\sin t,\cos t), \qquad \left|\vec{r}^{\prime}(t)\right|=1.
Assim 0\neq1, ou seja a igualdade de (a) falha. Conclusão: (a) é falsa (apenas verdadeira em casos especiais, quando \vec{r} e \vec{r}' são paralelos e no mesmo sentido).

Passo 4

Agora a afirmação (b): se \dfrac{d}{dt}|\vec{r}(t)|=0 para todo t, então \vec{r}^{\prime}(t) e \vec{r}(t) são ortogonais para todo t.
Argumento direto e robusto (sem dividir por |\vec{r}|, portanto válido mesmo quando |\vec{r}|=0 em alguns pontos): se \dfrac{d}{dt}|\vec{r}(t)|=0 para todo t, então |\vec{r}(t)| é constante. Logo |\vec{r}(t)|^{2} também é constante; diferenciando,
\frac{d}{dt}|\vec{r}(t)|^{2}=0.
Mas \dfrac{d}{dt}|\vec{r}|^{2}=2\,\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}. Portanto
2\,\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}=0\quad\Rightarrow\quad \vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}=0
para todo t. A igualdade \vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}=0 significa exatamente que \vec{r} é ortogonal a \vec{r}^{\prime} em cada t. Note que este argumento funciona mesmo se \vec{r}(t)=\vec{0} em algum t, pois \vec{0}\cdot\vec{r}'=\!0 também.
Um exemplo ilustrativo: para \vec{r}(t)=(\cos t,\sin t) temos |\vec{r}|=1 constante, e de fato \vec{r}\cdot\vec{r}'=0 em todo t: os vetores posição e velocidade são ortogonais (movimento circular uniforme). Assim (b) é verdadeira.

Passo 5

Resumo final do raciocínio (curto e amigável): a derivada do comprimento não é, em geral, igual ao comprimento da derivada — em geral vale \dfrac{d}{dt}|\vec{r}|=\dfrac{\vec{r}\cdot\vec{r}'}{|\vec{r}|}, então (a) é falsa salvo casos especiais de paralelismo. Já se \dfrac{d}{dt}|\vec{r}|=0 para todo t, então |\vec{r}|^{2} é constante e diferenciando obtemos \vec{r}\cdot\vec{r}'=0, logo \vec{r} e \vec{r}' são ortogonais — (b) é verdadeira.

Resposta

(a) Falso
(b) Verdadeiro

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