Seja \vec{r} uma função vetorial derivável lisa. Indique se é verdadeiro ou falso:
(a) \frac{d}{d t}|\vec{r}(t)|=\left|\vec{r}^{\prime}(t)\right|
(b) se \frac{d}{d t}|\vec{r}(t)|=0 para todo t, então \vec{r}^{\prime}(t) e \vec{r}(t) são ortogonais para todo t.
Passo 1
O enunciado dá uma função vetorial derivável e lisa \vec{r}(t). Precisa decidir se são verdadeiras ou falsas as duas afirmações seguintes:
desde que |\vec{r}(t)|\neq 0 no ponto considerado.
Observação técnica: a dedução acima usa divisão por |\vec{r}|, portanto é válida onde |\vec{r}(t)|\neq 0. Para tratar pontos em que |\vec{r}(t)|=0 é mais conveniente derivar |\vec{r}|^{2} e obter
Usando a fórmula \dfrac{d}{dt}|\vec{r}|=\dfrac{\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}}{|\vec{r}|} (quando |\vec{r}|\neq0), compare-a com \left|\vec{r}^{\prime}\right|.
ocorre exatamente quando \vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}=|\vec{r}|\,|\vec{r}^{\prime}|, isto é, quando o ângulo entre \vec{r} e \vec{r}^{\prime} satisfaz \cos\theta=1: os vetores são paralelos e apontam no mesmo sentido.
Um contraexemplo simples mostra que (a) é falsa: escolha
\vec{r}(t)=(\cos t,\sin t).
Então |\vec{r}(t)|=1 para todo t, logo \dfrac{d}{dt}|\vec{r}(t)|=0. Mas
Assim 0\neq1, ou seja a igualdade de (a) falha. Conclusão: (a) é falsa (apenas verdadeira em casos especiais, quando \vec{r} e \vec{r}' são paralelos e no mesmo sentido).
Passo 4
Agora a afirmação (b): se \dfrac{d}{dt}|\vec{r}(t)|=0 para todo t, então \vec{r}^{\prime}(t) e \vec{r}(t) são ortogonais para todo t.
Argumento direto e robusto (sem dividir por |\vec{r}|, portanto válido mesmo quando |\vec{r}|=0 em alguns pontos): se \dfrac{d}{dt}|\vec{r}(t)|=0 para todo t, então |\vec{r}(t)| é constante. Logo |\vec{r}(t)|^{2} também é constante; diferenciando,
\frac{d}{dt}|\vec{r}(t)|^{2}=0.
Mas \dfrac{d}{dt}|\vec{r}|^{2}=2\,\vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}. Portanto
para todo t. A igualdade \vec{r}\cdot\vec{r}^{\prime}=0 significa exatamente que \vec{r} é ortogonal a \vec{r}^{\prime} em cada t. Note que este argumento funciona mesmo se \vec{r}(t)=\vec{0} em algum t, pois \vec{0}\cdot\vec{r}'=\!0 também.
Um exemplo ilustrativo: para \vec{r}(t)=(\cos t,\sin t) temos |\vec{r}|=1 constante, e de fato \vec{r}\cdot\vec{r}'=0 em todo t: os vetores posição e velocidade são ortogonais (movimento circular uniforme). Assim (b) é verdadeira.
Passo 5
Resumo final do raciocínio (curto e amigável): a derivada do comprimento não é, em geral, igual ao comprimento da derivada — em geral vale \dfrac{d}{dt}|\vec{r}|=\dfrac{\vec{r}\cdot\vec{r}'}{|\vec{r}|}, então (a) é falsa salvo casos especiais de paralelismo. Já se \dfrac{d}{dt}|\vec{r}|=0 para todo t, então |\vec{r}|^{2} é constante e diferenciando obtemos \vec{r}\cdot\vec{r}'=0, logo \vec{r} e \vec{r}' são ortogonais — (b) é verdadeira.