Uma partícula começa sua trajetória em
com velocidade inicial
. Sua aceleração é
. Determine sua função posição.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados iniciais e pede a função posição da partícula:
- Posição inicial:
. Ou seja . - Velocidade inicial:
. Ou seja . - Aceleração:
. Ou seja .
O que o problema pede: encontrar a função posição
válida para todo
(a função vetorial cujas componentes dependem de
).
Passo 2
Entender a relação entre as grandezas (uma mini-aula):
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
. - A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
.
Logo, para obterintegra-se em ; para obter integra-se em . Ao integrar surgirão constantes de integração que são vetores; usa-se as condições iniciais e para determiná-las.
Passo 3
Integrar a aceleração componente a componente para obter a velocidade geral (com constante vetorial).
Escrevendo , integramos cada componente:
Escrevendo
Assim a velocidade geral é
As constantes
formam o vetor constante de integração.
Passo 4
Determinar as constantes de integração da velocidade usando
.
Avaliar em
:
Avaliar
Igualando a
obtemos
Portanto a velocidade completa é
Passo 5
Integrar a velocidade para obter a posição geral (com constantes de integração).
Integramos cada componente de :
Integramos cada componente de
Assim a posição geral é
Passo 6
Determinar as constantes de integração da posição usando
.
Avaliar em
:
Avaliar
Como
, segue
Substituindo, a função posição fica
Passo 7
Verificação rápida (mini-checagem): derivando
obtém-se exatamente
e derivando
obtém-se
; e
,
. Isso confirma que a solução está correta.