Uma partícula começa sua trajetória em \vec{i}+\vec{j}+\vec{k} com velocidade inicial \vec{i}-\vec{j}+3 \vec{k}. Sua aceleração é \vec{a}(t)=6 t \vec{i}+12 t^{2} \vec{j}-6 t \vec{k}. Determine sua função posição.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados iniciais e pede a função posição da partícula:
  • Posição inicial: \vec{r}(0)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}. Ou seja \vec{r}(0)=(1,1,1).
  • Velocidade inicial: \vec{v}(0)=\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}. Ou seja \vec{v}(0)=(1,-1,3).
  • Aceleração: \vec{a}(t)=6t\,\vec{i}+12t^{2}\,\vec{j}-6t\,\vec{k}. Ou seja \vec{a}(t)=(6t,\,12t^{2},\,-6t).
O que o problema pede: encontrar a função posição \vec{r}(t) válida para todo t (a função vetorial cujas componentes dependem de t).

Passo 2

Entender a relação entre as grandezas (uma mini-aula):
  • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}.
  • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}.
    Logo, para obter \vec{v}(t) integra-se \vec{a}(t) em t; para obter \vec{r}(t) integra-se \vec{v}(t) em t. Ao integrar surgirão constantes de integração que são vetores; usa-se as condições iniciais \vec{v}(0) e \vec{r}(0) para determiná-las.

Passo 3

Integrar a aceleração componente a componente para obter a velocidade geral (com constante vetorial).
Escrevendo \vec{a}(t)=(6t,\,12t^{2},\,-6t), integramos cada componente:
\int 6t\,dt = 3t^{2} + C_{1}, \qquad \int 12t^{2}\,dt = 4t^{3} + C_{2}, \qquad \int -6t\,dt = -3t^{2} + C_{3}.
Assim a velocidade geral é
\vec{v}(t)=(3t^{2}+C_{1},\;4t^{3}+C_{2},\;-3t^{2}+C_{3}).
As constantes C_{1},C_{2},C_{3} formam o vetor constante de integração.

Passo 4

Determinar as constantes de integração da velocidade usando \vec{v}(0)=(1,-1,3).
Avaliar \vec{v}(t) em t=0:
\vec{v}(0)=(3\cdot0^{2}+C_{1},\;4\cdot0^{3}+C_{2},\;-3\cdot0^{2}+C_{3})=(C_{1},C_{2},C_{3}).
Igualando a \vec{v}(0)=(1,-1,3) obtemos
C_{1}=1,\qquad C_{2}=-1,\qquad C_{3}=3.
Portanto a velocidade completa é
\vec{v}(t)=(3t^{2}+1,\;4t^{3}-1,\;-3t^{2}+3).

Passo 5

Integrar a velocidade para obter a posição geral (com constantes de integração).
Integramos cada componente de \vec{v}(t):
\int (3t^{2}+1)\,dt = t^{3}+t + D_{1},
\int (4t^{3}-1)\,dt = t^{4}-t + D_{2},
\int (-3t^{2}+3)\,dt = -t^{3}+3t + D_{3}.
Assim a posição geral é
\vec{r}(t)=(t^{3}+t+D_{1},\;t^{4}-t+D_{2},\;-t^{3}+3t+D_{3}).

Passo 6

Determinar as constantes de integração da posição usando \vec{r}(0)=(1,1,1).
Avaliar \vec{r}(t) em t=0:
\vec{r}(0)=(D_{1},D_{2},D_{3}).
Como \vec{r}(0)=(1,1,1), segue
D_{1}=1,\qquad D_{2}=1,\qquad D_{3}=1.
Substituindo, a função posição fica
\vec{r}(t)=(t^{3}+t+1,\;t^{4}-t+1,\;-t^{3}+3t+1).

Passo 7

Verificação rápida (mini-checagem): derivando \vec{r}(t) obtém-se exatamente \vec{v}(t) e derivando \vec{v}(t) obtém-se \vec{a}(t); e \vec{r}(0)=(1,1,1), \vec{v}(0)=(1,-1,3). Isso confirma que a solução está correta.

Resposta

\displaystyle \vec{r}(t)=(t^{3}+t+1)\,\vec{i}+(t^{4}-t+1)\,\vec{j}+(-t^{3}+3t+1)\,\vec{k}

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