Q5
Seja p>3 um número primo. Mostre que 6 p \mid a^{p}-a, para todo a \in \mathbb{Z}.
Dica: Use que 6 p=2 \cdot 3 \cdot p.

Passo 1

O enunciado dá:
  • p>3 é um número primo (logo p é ímpar e p\neq2,3).
  • a é um inteiro qualquer, a\in\mathbb{Z}.
    O que precisa ser mostrado é a divisibilidade
6p \mid a^{p}-a.
Também é dado (na dica) que 6p=2\cdot 3\cdot p. Portanto é suficiente mostrar que a^{p}-a é múltiplo de cada um dos fatores 2, 3 e p.

Passo 2

Divisibilidade por p.
Queremos mostrar que
p \mid a^{p}-a.
Se p divide a então isso é óbvio, pois a^{p}-a é múltiplo de a e, portanto, múltiplo de p. Suponha então que \gcd(a,p)=1. Considere os resíduos
a,\;2a,\;3a,\;\dots,\;(p-1)a
tomados módulo p. Como multiplicar por a é bijetivo em \{1,2,\dots,p-1\} quando \gcd(a,p)=1, esses resíduos são uma permutação de 1,2,\dots,p-1 módulo p. Tomando o produto dos termos em cada lista, obtemos a congruência
a\cdot 2a\cdot 3a\cdots (p-1)a \equiv 1\cdot 2\cdot 3\cdots (p-1) \pmod{p}.
O lado esquerdo é a^{\,p-1}\,(p-1)!, portanto
a^{\,p-1}\,(p-1)! \equiv (p-1)! \pmod{p}.
Como \gcd((p-1)!,p)=1 (nenhum dos fatores 1,\dots,p-1 é múltiplo de p), podemos cancelar (p-1)! na congruência e obter
a^{\,p-1}\equiv 1 \pmod{p},
o que implica
a^{p}\equiv a \pmod{p},
ou seja, p\mid a^{p}-a. (Isto é a forma elementar do Teorema de Fermat.)

Passo 3

Divisibilidade por 2.
Como p>3 é primo, p é ímpar. Para qualquer inteiro a há duas possibilidades:
  • Se a é par então a^{p} é par e assim a^{p}-a é par.
  • Se a é ímpar então a^{p} também é ímpar (produto de ímpares é ímpar) e novamente a^{p}-a é par.
    Em termos de congruências, isso significa que para todo a
a^{p}\equiv a \pmod{2},
logo 2\mid a^{p}-a.

Passo 4

Divisibilidade por 3.
Se 3\mid a então 3\mid a^{p}-a trivialmente. Se \gcd(a,3)=1 então, pelo pequeno teorema de Fermat (ou pelo teorema de Euler com \varphi(3)=2), temos
a^{2}\equiv 1 \pmod{3}.
Como p é impar, existe k inteiro tal que p=2k+1. Então
a^{p}=a^{2k+1}=(a^{2})^{k}\,a\equiv 1^{k}\,a\equiv a \pmod{3},
portanto 3\mid a^{p}-a.

Passo 5

Conclusão combinando os fatores.
Mostramos que 2\mid a^{p}-a, 3\mid a^{p}-a e p\mid a^{p}-a. Como 2, 3 e p são primos distintos (pois p>3), eles são dois a dois coprimos. Se n e m são inteiros coprimos e ambos dividem um inteiro N, então nm divide N (uma forma simples de ver isto: escreva N=nk; como m\mid nk e \gcd(m,n)=1, segue que m\mid k, logo k= m k' e N= n m k'). Aplicando isto sucessivamente obtemos que
2\cdot 3\cdot p = 6p \mid a^{p}-a.

Resposta

6p \mid a^{p}-a, para todo a\in\mathbb{Z}.

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