Uma partícula está confinada entre duas paredes rígidas separadas pela distância L. A partícula está no seu estado de energia mais baixa e a função de onda desse estado é Psi= A sen (pi x / L). Use esta função de onda para calcular a probabilidade de a partícula estar entre os pontos
x=0 e x=L / 3

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula num poço infinito de largura L, com barreiras em x=0 e x=L. Ela está no estado fundamental, cuja função de onda é
Psi(x)=Asin!l(pi xLr)
Queremos a probabilidade de encontrá-la entre x=0 e x=L/3, isto é
P=integral0^L/3|Psi(x)|^2,dx

Passo 2

Para calcular isso, primeiro achamos a constante de normalização A exigindo
integral0^L|Psi(x)|^2,dx=1
Como |Psi|^2=A^2sin^2(pi x/L) e sabemos que
integral0^Lsin^2!l(pi xLr)dx=L2,
vem
A^2L2=1 ;;Longrightarrow;; A=raiz2L

Passo 3

Substituindo em P, temos
P =integral0^L/3A^2sin^2!l(pi xLr)dx =2Lintegral0^L/3sin^2!l(pi xLr)dx

Passo 4

Para resolver integralsin^2(ax),dx usamos a fórmula
integralsin^2(ax),dx =x2-sin(2ax)4a
Aqui a=pi/L, então
integral0^L/3sin^2!l(pi xLr)dx =l[x2-sin(2pi x/L)4(pi/L)r]0^L/3 =L6-L4pisin!l(2pi3r)
Como sin(2pi/3)=raiz3/2, isto é
L6-L4picdotraiz32 = Ll(16-raiz38pir)

Passo 5

Multiplicando por 2/L, obtemos
P =2Lcdot Ll(16-raiz38pir) =2l(16-raiz38pir) =13-raiz34pi

Resposta

P = 13 ;-;raiz34pi

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