G: A distância entre os centros de uma esfera de chumbo de 200 g e uma esfera de chumbo de 800 g é de 0,120 m. Um objeto de 1,00 g é colocado 0,0800 m do centro da esfera de 800 g ao longo da linha juntando os centros das duas esferas. Quanto trabalho é necessário para trazer o objeto 0,0400 m mais perto da esfera de 800 g ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo! Temos duas esferas de chumbo, uma com massa de 200 g e outra com 800 g, separadas por uma distância de 0,120 metros. Um objeto de 1,00 g está inicialmente a 0,0800 metros do centro da esfera de 800 g. Queremos descobrir quanto trabalho precisamos para trazer esse objeto 0,0400 metros mais perto da esfera de 800 g. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Energia Potencial Gravitacional e a fórmula da Lei da Gravitação Universal.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para facilitar os cálculos:
  • Massa da esfera maior (M1): 800 g = 0,800 kg
  • Massa da esfera menor (M2): 200 g = 0,200 kg
  • Massa do objeto (m): 1,00 g = 0,001 kg
  • Distância inicial entre as esferas: 0,120 m
  • Distância inicial do objeto da esfera de 800 g: 0,0800 m
  • Distância final do objeto da esfera de 800 g: 0,0400 m

Passo 3

Vamos entender as posições:
  • Inicialmente:
    • O objeto está a 0,0800 m da esfera de 800 g.
    • Como a distância total entre as esferas é 0,120 m, a distância do objeto até a esfera de 200 g é 0,120 m - 0,0800 m = 0,0400 m.
  • Finalmente:
    • O objeto será trazido 0,0400 m mais perto da esfera de 800 g, ficando a 0,0400 m dela.
    • Assim, a distância até a esfera de 200 g será 0,120 m - 0,0400 m = 0,0800 m.

Passo 4

Vamos calcular a Energia Potencial Gravitacional (U) inicial e final. A fórmula é:
U = -G cdot M cdot mr
Onde:
  • G é a constante gravitacional ( 6,67430 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2)
  • M é a massa da esfera
  • m é a massa do objeto
  • r é a distância entre os centros das massas

Passo 5

Energia Potencial Inicial (U₁):
  • Devido à esfera de 800 g:
    U1a = -G cdot M1 cdot mr1inicial = -6,67430 times 10^-11 cdot 0,800 cdot 0,0010,0800 = -6,67430 times 10^-13 , J
  • Devido à esfera de 200 g:
    U1b = -G cdot M2 cdot mr2inicial = -6,67430 times 10^-11 cdot 0,200 cdot 0,0010,0400 = -3,33715 times 10^-13 , J
  • Total Inicial:
    Uinicial = U1a + U1b = -9,01145 times 10^-13 , J

Passo 6

Energia Potencial Final (U₂):
  • Devido à esfera de 800 g:
    U2a = -G cdot M1 cdot mr1final = -6,67430 times 10^-11 cdot 0,800 cdot 0,0010,0400 = -1,33486 times 10^-12 , J
  • Devido à esfera de 200 g:
    U2b = -G cdot M2 cdot mr2final = -6,67430 times 10^-11 cdot 0,200 cdot 0,0010,0800 = -1,668575 times 10^-13 , J
  • Total Final:
    Ufinal = U2a + U2b = -1,5017175 times 10^-12 , J

Passo 7

Agora, vamos calcular a variação da energia potencial, que representa o trabalho realizado:
De
Como o trabalho necessário para trazer o objeto mais perto é a quantidade de energia que precisamos fornecer, consideramos o valor absoluto:
Trabalho = 5,11 times 10^-13 , J

Resposta

O trabalho necessário para trazer o objeto 0,0400 metros mais perto da esfera de 800 g é de aproximadamente 5,11 times 10^-13 Joules.

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