Se tomarmos
, teremos a capacitância de uma esfera de raio
. Nesse limite, determine a energia U armazenada em todo o espaço.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que, ao considerar que $ R_{2} $ tende ao infinito, a capacitância se torna a de uma esfera de raio $ R_{1} $. Nosso objetivo é determinar a energia $ U $ armazenada em todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância de uma esfera e da energia armazenada em um campo elétrico.
Passo 2
Vamos lembrar que a capacitância $ C $ de uma esfera de raio $ R $ é dada pela fórmula:
Aqui, $ \varepsilon_{0} $ representa a permissividade do vácuo, uma constante que mede a capacidade do espaço vazio de permitir a formação de campos elétricos.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da energia armazenada em um capacitor. A energia $ U $ pode ser calculada de duas formas principais:
ou
Onde:
- $ V $ é a diferença de potencial elétrico.
- $ Q $ é a carga elétrica armazenada.
Passo 4
No caso de uma esfera isolada, a relação entre a carga $ Q $, capacitância $ C $ e potencial $ V $ é:
Podemos rearranjar essa equação para expressar a energia em termos de $ Q $:
Passo 5
Substituindo a expressão da capacitância $ C = 4\pi \varepsilon_{0} R_{1} $ na fórmula da energia, temos:
Simplificando a expressão:
Resposta
A energia $ U $ armazenada em todo o espaço é: