Se tomarmos R2 infty, teremos a capacitância de uma esfera de raio R1. Nesse limite, determine a energia U armazenada em todo o espaço.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que, ao considerar que $ R_{2} $ tende ao infinito, a capacitância se torna a de uma esfera de raio $ R_{1} $. Nosso objetivo é determinar a energia $ U $ armazenada em todo o espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de capacitância de uma esfera e da energia armazenada em um campo elétrico.

Passo 2

Vamos lembrar que a capacitância $ C $ de uma esfera de raio $ R $ é dada pela fórmula:
C
Aqui, $ \varepsilon_{0} $ representa a permissividade do vácuo, uma constante que mede a capacidade do espaço vazio de permitir a formação de campos elétricos.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da energia armazenada em um capacitor. A energia $ U $ pode ser calculada de duas formas principais:
U
ou
U = 12 C V^2
Onde:
  • $ V $ é a diferença de potencial elétrico.
  • $ Q $ é a carga elétrica armazenada.

Passo 4

No caso de uma esfera isolada, a relação entre a carga $ Q $, capacitância $ C $ e potencial $ V $ é:
Q
Podemos rearranjar essa equação para expressar a energia em termos de $ Q $:
C

Passo 5

Substituindo a expressão da capacitância $ C = 4\pi \varepsilon_{0} R_{1} $ na fórmula da energia, temos:
Simplificando a expressão:

Resposta

A energia $ U $ armazenada em todo o espaço é:

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