Uma partícula descreve um movimento cujas coordenadas são dadas pelas seguintes equaçōes:
X(t)=X0 cdot cos (omega t) e Y(t)=Y0 cdot sen(omega t+pi / 6)
em que omega, X0 e Y0 são constantes positivas. A trajetória da particula é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se movimenta no plano XY, com as coordenadas dadas por:
X(t) = X0 cdot cos (omega t) e Y(t) = Y0 cdot sin(omega t + pi / 6)
Aqui, X0, Y0 e omega são constantes positivas. Nosso objetivo é determinar a trajetória dessa partícula, ou seja, encontrar uma relação entre Y e X que descreva o caminho percorrido pela partícula no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que as equações dadas são funções parametrizadas do tempo t. Isso significa que tanto X quanto Y variam com o tempo, e queremos eliminar o tempo para encontrar uma relação direta entre X e Y.

Passo 3

Vamos começar isolando o termo cos(omega t) na equação de X(t):
cos(omega t) = X(t)X0
Agora, usaremos a identidade trigonométrica que relaciona seno e cosseno:
sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1
Essa identidade será útil para conectar X e Y.

Passo 4

Precisamos expressar sin(omega t + pi/6) em termos de sin(omega t) e cos(omega t). Vamos usar a fórmula da soma para o seno:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Aplicando isso na nossa equação de Y(t):
sin(omega t + pi/6) = sin(omega t) cos(pi6) + cos(omega t) sin(pi6)

Passo 5

Sabemos que cos(pi6) = raiz32 e sin(pi6) = 12. Substituindo esses valores na equação:
sin(omega t + pi/6) = sin(omega t) cdot raiz32 + cos(omega t) cdot 12
Portanto, a equação de Y(t) fica:
Y(t) = Y0 ( raiz32 sin(omega t) + 12 cos(omega t) )

Passo 6

Agora, vamos multiplicar Y0 pelos termos dentro dos parênteses:
Y(t) = Y0 raiz32 sin(omega t) + Y02 cos(omega t)
Lembrando que já temos cos(omega t) = X(t)X0, podemos substituir na equação:
Y(t) = Y0 raiz32 sin(omega t) + Y02 cdot X(t)X0

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar sin(omega t):
Y(t) - Y02 cdot X(t)X0 = Y0 raiz32 sin(omega t)
Multiplicando ambos os lados por 2Y0 raiz3 para resolver para sin(omega t):
sin(omega t) = 2Y0 raiz3 ( Y(t) - Y02 cdot X(t)X0 )
Simplificando:
sin(omega t) = 2Y(t)Y0 raiz3 - X(t)X0 raiz3

Passo 8

Agora, lembrando da identidade trigonométrica sin^2(omega t) + cos^2(omega t) = 1, e substituindo cos(omega t) = X(t)X0 e a expressão que encontramos para sin(omega t), temos:
( 2Y(t)Y0 raiz3 - X(t)X0 raiz3 )^2 + ( X(t)X0 )^2 = 1

Passo 9

Vamos expandir o primeiro termo:
( 2Y(t)Y0 raiz3 - X(t)X0 raiz3 )^2 = ( 2Y(t)Y0 raiz3 )^2 - 2 cdot 2Y(t)Y0 raiz3 cdot X(t)X0 raiz3 + ( X(t)X0 raiz3 )^2
Simplificando:
4Y(t)^23Y0^2 - 4Y(t)X(t)3X0Y0 + X(t)^23X0^2

Passo 10

Substituindo de volta na equação original:
4Y(t)^23Y0^2 - 4Y(t)X(t)3X0Y0 + X(t)^23X0^2 + X(t)^2X0^2 = 1
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
4Y(t)^23Y0^2 - 4Y(t)X(t)3X0Y0 + 4X(t)^23X0^2 = 1

Passo 11

Multiplicando todos os termos por 3X0^2 Y0^2 para eliminar os denominadores:
4X0^2 Y(t)^2 - 4X0 Y0 Y(t) X(t) + 4Y0^2 X(t)^2 = 3X0^2 Y0^2
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
X0^2 Y(t)^2 - X0 Y0 Y(t) X(t) + Y0^2 X(t)^2 = 34 X0^2 Y0^2

Passo 12

Para simplificar ainda mais, reorganizamos a equação:
Y0^2 X(t)^2 - X0 Y0 Y(t) X(t) + X0^2 Y(t)^2 = 34 X0^2 Y0^2
Esta é a equação geral da trajetória da partícula no plano XY.

Resposta

A trajetória da partícula é dada pela equação:
Y0^2 X^2 - X0 Y0 Y X + X0^2 Y^2 = 34 X0^2 Y0^2

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