Uma partícula descreve um movimento cujas coordenadas são dadas pelas seguintes equaçōes:
em que
e
são constantes positivas. A trajetória da particula é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se movimenta no plano XY, com as coordenadas dadas por:
Aqui,
,
e
são constantes positivas. Nosso objetivo é determinar a trajetória dessa partícula, ou seja, encontrar uma relação entre
e
que descreva o caminho percorrido pela partícula no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que as equações dadas são funções parametrizadas do tempo
. Isso significa que tanto
quanto
variam com o tempo, e queremos eliminar o tempo para encontrar uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Vamos começar isolando o termo
na equação de
:
Agora, usaremos a identidade trigonométrica que relaciona seno e cosseno:
Essa identidade será útil para conectar
e
.
Passo 4
Precisamos expressar
em termos de
e
. Vamos usar a fórmula da soma para o seno:
Aplicando isso na nossa equação de
:
Passo 5
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores na equação:
Portanto, a equação de
fica:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar
pelos termos dentro dos parênteses:
Lembrando que já temos
, podemos substituir na equação:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
para resolver para
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, lembrando da identidade trigonométrica
, e substituindo
e a expressão que encontramos para
, temos:
Passo 9
Vamos expandir o primeiro termo:
Simplificando:
Passo 10
Substituindo de volta na equação original:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 11
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Passo 12
Para simplificar ainda mais, reorganizamos a equação:
Esta é a equação geral da trajetória da partícula no plano XY.
Resposta
A trajetória da partícula é dada pela equação: