Uma partícula descreve um movimento cujas coordenadas são dadas pelas seguintes equaçōes:
 
em que 
  e 
  são constantes positivas. A trajetória da particula é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que se movimenta no plano XY, com as coordenadas dadas por:
Aqui, 
 , 
  e 
  são constantes positivas. Nosso objetivo é determinar a trajetória dessa partícula, ou seja, encontrar uma relação entre 
  e 
  que descreva o caminho percorrido pela partícula no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que as equações dadas são funções parametrizadas do tempo 
 . Isso significa que tanto 
  quanto 
  variam com o tempo, e queremos eliminar o tempo para encontrar uma relação direta entre 
  e 
 .
Passo 3
Vamos começar isolando o termo 
  na equação de 
 :
Agora, usaremos a identidade trigonométrica que relaciona seno e cosseno:
Essa identidade será útil para conectar 
  e 
 .
Passo 4
Precisamos expressar 
  em termos de 
  e 
 . Vamos usar a fórmula da soma para o seno:
Aplicando isso na nossa equação de 
 :
Passo 5
Sabemos que 
  e 
 . Substituindo esses valores na equação:
Portanto, a equação de 
  fica:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar 
  pelos termos dentro dos parênteses:
Lembrando que já temos 
 , podemos substituir na equação:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar 
 :
Multiplicando ambos os lados por 
  para resolver para 
 :
Simplificando:
Passo 8
Agora, lembrando da identidade trigonométrica 
 , e substituindo 
  e a expressão que encontramos para 
 , temos:
Passo 9
Vamos expandir o primeiro termo:
Simplificando:
Passo 10
Substituindo de volta na equação original:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 11
Multiplicando todos os termos por 
  para eliminar os denominadores:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Passo 12
Para simplificar ainda mais, reorganizamos a equação:
Esta é a equação geral da trajetória da partícula no plano XY.
Resposta
A trajetória da partícula é dada pela equação: