Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por F(x, y, z)=(-y, x, z). Calcule o trabalho realizado por F no deslocamento da partícula de r(a) até r(b), nos seguintes casos:
r(t)=(cos t, sen t, t), a=0 e b=2 pi.

Passo 1

No enunciado temos o campo de forças F(x,y,z)=(-y,x,z) e a curva r(t)=(cos t,sin t,t) de t=0 a t=2pi. A gente precisa usar a definição de trabalho como integral de linha:
W = integralC Fcdot dr = integral0^2pi F(r(t))cdot r'(t),dt

Passo 2

Calcular r'(t) e substituir na força. Temos
r'(t) = (-sin t, cos t, 1),
e
F(r(t)) = (-sin t, cos t, t)

Passo 3

Fazendo o produto escalar:
F(r(t))cdot r'(t) = (-sin t)(-sin t) + (cos t)(cos t) + tcdot 1 = sin^2 t + cos^2 t + t = 1 + t

Passo 4

Agora é só integrar de 0 a 2pi:
W = integral0^2pi (1+t),dt = l[t + tfract^22r]0^2pi = 2pi + (2pi)^22 = 2pi + 2pi^2

Resposta

2pi + 2pi^2

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