Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por vec{F}(x, y, z)=-y \overrightarrow{\mathbf{i}}+x \overrightarrow{\mathbf{j}}+ z \overrightarrow{\mathbf{k}}.Calcule o trabalho realizado por vec{F} no deslocamento da partícula de gamma(a) até gamma(b), sendo dados:
gamma(t)=(2 t+1, t-1,1-t), \quad \mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Campo de forças: \mathbf{F}(x,y,z) = -y\,\overrightarrow{\mathbf{i}} + x\,\overrightarrow{\mathbf{j}} + z\,\overrightarrow{\mathbf{k}}.
  • Curva paramétrica: \gamma(t) = (2t+1,\; t-1,\; 1-t).
  • Intervalo do parâmetro: a=1 e b=2.
Pergunta: Calcular o trabalho realizado por \mathbf{F} quando a partícula se desloca ao longo da curva \gamma de t=a até t=b.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula curta e prática):
  • O trabalho realizado por um campo vetorial \mathbf{F} ao longo de uma curva orientada \gamma é a integral de linha
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
  • Quando a curva está parametrizada por \gamma(t) com t\in[a,b], usamos a fórmula de parametrização:
W=\int_{a}^{b}\mathbf{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt.
Aqui:
  • \mathbf{F}(\gamma(t)) é o campo \mathbf{F} avaliado nas coordenadas da curva.
  • \gamma'(t) é a derivada da parametrização (velocidade).
  • O produto \cdot é o produto escalar entre vetores (multiplica componente a componente e soma).
Explicando o produto escalar: se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3), então
u\cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3.
Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular \gamma'(t) (derivar componente a componente):
\gamma(t) = (2t+1,\; t-1,\; 1-t),
portanto
\gamma'(t) = \left(\frac{d}{dt}(2t+1),\; \frac{d}{dt}(t-1),\; \frac{d}{dt}(1-t)\right) = (2,\;1,\;-1).

Passo 4

Avaliar \mathbf{F} ao longo da curva: substituir x=2t+1, y=t-1, z=1-t em \mathbf{F}:
\mathbf{F}(\gamma(t)) = \bigl(-y,\; x,\; z\bigr) = \bigl(-(t-1),\; 2t+1,\; 1-t\bigr).
Simplificando a primeira componente:
-(t-1)=1-t,
então
\mathbf{F}(\gamma(t)) = (\,1-t,\; 2t+1,\; 1-t\,).

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t):
\mathbf{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t) = (1-t,\,2t+1,\,1-t)\cdot(2,\,1,\,-1).
Fazendo componente a componente:
(1-t)\cdot 2 + (2t+1)\cdot 1 + (1-t)\cdot(-1).
Agora simplifico passo a passo:
2(1-t) + (2t+1) - (1-t).
Calculo termos: 2(1-t)=2-2t e -(1-t)=-1+t. Somando:
2-2t + 2t+1 -1 + t = 2 + t.
Portanto
\mathbf{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t) = 2 + t.

Passo 6

Agora integraremos no intervalo t\in[1,2]:
W = \int_{1}^{2} (2+t)\,dt.
Calculo da primitiva: uma primitiva de 2+t é 2t + \tfrac{t^{2}}{2}. Avaliando de 1 a 2:
W = \left[2t + \tfrac{t^{2}}{2}\right]_{1}^{2} = \left(2\cdot 2 + \tfrac{2^{2}}{2}\right) - \left(2\cdot 1 + \tfrac{1^{2}}{2}\right).
Compute cada parte:
2\cdot 2 + \tfrac{4}{2} = 4 + 2 = 6,
2\cdot 1 + \tfrac{1}{2} = 2 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2}.
Subtraindo:
W = 6 - \tfrac{5}{2} = \tfrac{12}{2} - \tfrac{5}{2} = \tfrac{7}{2}.

Resposta

\tfrac{7}{2}

Exercícios relacionados