Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
.Calcule o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados:
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Campo de forças:
. - Curva paramétrica:
. - Intervalo do parâmetro:
e .
Pergunta: Calcular o trabalho realizado por
quando a partícula se desloca ao longo da curva
de
até
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula curta e prática):
- O trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de uma curva orientada é a integral de linha
- Quando a curva está parametrizada por
com , usamos a fórmula de parametrização:
Aqui:
-
é o campo avaliado nas coordenadas da curva. -
é a derivada da parametrização (velocidade). - O produto
é o produto escalar entre vetores (multiplica componente a componente e soma).
Explicando o produto escalar: se
e
, então
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular
(derivar componente a componente):
portanto
Passo 4
Avaliar
ao longo da curva: substituir
,
,
em
:
Simplificando a primeira componente:
então
Passo 5
Calcular o produto escalar
:
Fazendo componente a componente:
Agora simplifico passo a passo:
Calculo termos:
e
. Somando:
Portanto
Passo 6
Agora integraremos no intervalo
:
Calculo da primitiva: uma primitiva de
é
. Avaliando de
a
:
Compute cada parte:
Subtraindo: