Resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int 6 x \cdot \operatorname{sen} x \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int 6 x \cdot \operatorname{sen} x \; d x.
Informações relevantes dadas:
\text{temos uma integral indefinida cujo integrando é o produto de } x \text{ (polinômio de grau 1) e } \operatorname{sen}x.éô
O que se espera: encontrar uma primitiva (família de antiderivadas) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=6x\operatorname{sen}x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo técnico simples: fatorar a constante fora da integral (propriedade de linearidade da integral). A propriedade diz que, para constante a,
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Aplicando aqui:
\int 6 x \operatorname{sen}x\,dx = 6\int x \operatorname{sen}x\,dx.

Passo 3

Para integrar \int x\operatorname{sen}x\,dx vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando: escolhemos uma função u(x) que ao derivar fique mais simples, e escolhemos dv como a parte que sabemos integrar facilmente. Depois calculamos du = u'(x)\,dx e v tal que dv = v'(x)\,dx (ou seja, v é uma primitiva de dv).

Passo 4

Escolha das partes para a integral \int x\operatorname{sen}x\,dx:
u = x,\qquad dv = \operatorname{sen}x\,dx.
Então
du = dx,
e v é uma primitiva de \operatorname{sen}x. Lembrando que a derivada de \cos x é -\operatorname{sen}x, logo uma primitiva de \operatorname{sen}x é -\cos x. Assim
v = -\cos x.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x\operatorname{sen}x\,dx = u v - \int v\,du = x\cdot(-\cos x) - \int (-\cos x)\,dx.
Isso simplifica para
\int x\operatorname{sen}x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
Sabemos que uma primitiva de \cos x é \sin x. Portanto
\int x\operatorname{sen}x\,dx = -x\cos x + \sin x + C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 6

Voltando ao fator constante que tiramos no Passo 2:
\int 6 x \operatorname{sen}x\,dx = 6\left(-x\cos x + \sin x + C_1\right).
Como 6C_1 é outra constante arbitrária, podemos escrever a constante final como C. Assim
\int 6 x \operatorname{sen}x\,dx = -6x\cos x + 6\sin x + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta devemos voltar ao integrando. Derivando F(x) = -6x\cos x + 6\sin x usando regra do produto:
F'(x) = -6(\cos x - x\operatorname{sen}x) + 6\cos x = 6x\operatorname{sen}x,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-6x\cos x + 6\sin x + C

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