Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
O que se espera: encontrar uma primitiva (família de antiderivadas) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que
, mais a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro passo técnico simples: fatorar a constante fora da integral (propriedade de linearidade da integral). A propriedade diz que, para constante
,
Aplicando aqui:
Passo 3
Para integrar
vamos usar a fórmula de integração por partes. A fórmula é
Explicando: escolhemos uma função
que ao derivar fique mais simples, e escolhemos
como a parte que sabemos integrar facilmente. Depois calculamos
e
tal que
(ou seja,
é uma primitiva de
).
Passo 4
Escolha das partes para a integral
:
Então
e
é uma primitiva de
. Lembrando que a derivada de
é
, logo uma primitiva de
é
. Assim
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Isso simplifica para
Sabemos que uma primitiva de
é
. Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltando ao fator constante que tiramos no Passo 2:
Como
é outra constante arbitrária, podemos escrever a constante final como
. Assim
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta devemos voltar ao integrando. Derivando
usando regra do produto:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.