Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
Determine a área A da região limitada acima do eixo x sob a curva y=\frac{1}{9+x^{2}}, conhecida como Curva ou “Bruxa” de Agnesi.

Passo 1

O enunciado pede a área A da região limitada acima do eixo x sob a curva
y = \frac{1}{9 + x^{2}},
o que equivale a calcular a integral imprópria com limites infinitos
A = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{9 + x^{2}} \, dx.
O conteúdo aqui é integral imprópria de primeira espécie (limites de integração infinitos) e vamos usar a definição por limites e a antiderivada de \frac{1}{a^{2}+x^{2}}.

Passo 2

Observamos que a função
f(x)=\frac{1}{9 + x^{2}}
é par, ou seja, f(-x)=f(x). Por simetria, podemos escrever
A = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2 \int_{0}^{\infty} \frac{1}{9 + x^{2}} \, dx.

Passo 3

Para usar a definição de integral imprópria, note
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{9 + x^{2}} \, dx = \lim_{t\to\infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + x^{2}} \, dx.
Sabemos que
\int \frac{1}{9 + x^{2}} \, dx = \frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C
pela fórmula \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}dx = \frac{1}{a}\arctan(x/a). Então
\int_{0}^{t} \frac{1}{9 + x^{2}} \, dx = \frac{1}{3}\Bigl[\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr)-\arctan(0)\Bigr] = \frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr).
Fazendo t\to\infty
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{9 + x^{2}} \, dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{6}.

Passo 4

Voltando à área total,
A = 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}.
Portanto, a integral converge e seu valor é \pi/3.

Resposta

A = \frac{\pi}{3}.

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