Usando a definição de integral imprópria, determine se as integrais a seguir convergem ou divergem. Se convergir, encontre o seu valor.
Determine a área A da região limitada acima do eixo x sob a curva
, conhecida como Curva ou “Bruxa” de Agnesi.
Determine a área A da região limitada acima do eixo x sob a curva
Passo 1
O enunciado pede a área
da região limitada acima do eixo
sob a curva
o que equivale a calcular a integral imprópria com limites infinitos
O conteúdo aqui é integral imprópria de primeira espécie (limites de integração infinitos) e vamos usar a definição por limites e a antiderivada de
.
Passo 2
Observamos que a função
é par, ou seja,
. Por simetria, podemos escrever
Passo 3
Para usar a definição de integral imprópria, note
Sabemos que
pela fórmula
. Então
Fazendo
dá
Passo 4
Voltando à área total,
Portanto, a integral converge e seu valor é
.