Encontre a área do primeiro quadrante limitada pela curva y=\frac{1}{\sqrt{2 x-x^{2}}}, o eixo O x e as retas x=0 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede a área no primeiro quadrante limitada por y=\frac{1}{\sqrt{2x - x^2}}, pelo eixo Ox e pelas retas x=0 e x=2. Essa área é dada pela integral imprópria
A = \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{2x - x^2}} \,dx.
Para resolvê-la, vamos usar uma mudança de variável que transforme 2x - x^2 numa forma padrão de integral de arco seno.

Passo 2

Note que
2x - x^2 = -(x^2 - 2x) = -\bigl((x-1)^2 -1\bigr) = 1 - (x-1)^2.
Assim a integral fica
A = \int_{0}^{2} \frac{1}{\sqrt{\,1 - (x-1)^2\,}} \,dx.

Passo 3

Faça a substituição
t = x - 1,\quad dx = dt.
Quando x=0, t=-1; quando x=2, t=1. Logo
A = \int_{t=-1}^{t=1} \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \,dt.

Passo 4

Sabemos que
\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \arcsin(t) + C.
Logo
A = \bigl[\arcsin(t)\bigr]_{-1}^{1} = \arcsin(1) - \arcsin(-1) = \frac{\pi}{2} - \bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \pi.

Resposta

\pi

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