Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado por: r(t)=(t cdot sen t) cdot imath+(t cdot cos t) cdot jmath+t^2 cdot k.
Determinar o vetor posição para t=pi radianos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula no espaço. A posição dela em qualquer instante $ t $ é dada pelo vetor:
t
O que precisamos fazer é encontrar a posição dessa partícula quando $ t = \pi $ radianos. Para isso, vamos calcular cada componente do vetor posição substituindo $ t $ por $ \pi $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a componente na direção do $ \vec{\imath} $:
imath
Substituindo $ t = \pi $:
x = t cdot sin t
Sabemos que $ \sin \pi = 0 $, então:
t = pi

Passo 3

Agora, vamos para a componente na direção do $ \vec{\jmath} $:
jmath
Substituindo $ t = \pi $:
y = t cdot cos t
Sabemos que $ \cos \pi = -1 $, então:
t = pi

Passo 4

Por último, vamos calcular a componente na direção do $ \vec{k} $:
k
Substituindo $ t = \pi $:
z = t^2

Resposta

Portanto, o vetor posição da partícula para $ t = \pi $ radianos é:
t = pi

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