Resolva a equação diferencial usando a substituição dada ou alguma outra que achar apropriada:
2 x y y^prime+2 y^2=3 x-6, u=y^2

Passo 1

Temos a equação diferencial
2x y dydx + 2y^2 = 3x - 6
o conteúdo é EDO de primeira ordem e nos foi dada a substituição u=y^2. Vamos usar isso para transformar a equação em uma forma linear em u(x).

Passo 2

Como u=y^2, diferenciando em relação a x obtemos
dudx = 2y dydx
Logo,
ydydx = 12dudx
Substituindo em
2x y dydx + 2y^2 = 3x - 6
fica
2x cdot 12dudx + 2u = 3x - 6
ou simplificando
xdudx + 2u = 3x - 6

Passo 3

Agora temos uma EDO linear em u:
dudx + 2xu = 3 - 6x
O fator integrante é
mu(x) = e^integral 2xdx = x^2
Multiplicando tudo por x^2 obtemos
x^2dudx + 2x u = 3x^2 - 6x,
o que é
ddxl(x^2 ur) = 3x^2 - 6x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^2 u = integral (3x^2 - 6x),dx = x^3 - 3x^2 + C,
onde C é constante de integração. Logo
u = x^3 - 3x^2 + Cx^2 = x - 3 + Cx^2

Passo 5

Voltando a y, como u=y^2, temos a solução geral:
y^2 = x - 3 + Cx^2
e finalmente
y = pmraizx - 3 + Cx^2

Resposta

y = \pm\sqrt{x - 3 + \frac{C}{x^2}}

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