Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (3).
Construa o gráfico da posição como função do tempo.
Construa o gráfico da posição como função do tempo.
Passo 1
Resumo da questão: temos uma partícula cuja posição ao longo do tempo é dada por
Conteúdo envolvido: cálculo de derivadas (para estudar velocidade, monotonicidade e concavidade) e noções de esboço de gráfico de função polinomial de grau 3.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Derivada primeira
para achar onde a função cresce, decresce ou faz ponto crítico. - Derivada segunda
para identificar concavidade e ponto de inflexão. - Cálculo de
em alguns valores de para montar uma tabela de pontos e ajudar no esboço.
Passo 2
Calculando a velocidade (derivada primeira):
Isso é um polinômio quadrático:
Para ver onde muda de sinal (pontos críticos), calculamos o discriminante:
Isso significa que há uma única raiz dupla em
Como o coeficiente de
em
é positivo,
para todo
. Logo, a posição nunca decresce: a partícula está sempre se afastando ou “parando” momentaneamente em
.
Passo 3
Calculando a aceleração (derivada segunda) para ver concavidade:
Resolvendo
dá
Para
,
(concavidade para baixo); para
,
(concavidade para cima). Portanto o ponto de inflexão está em
.
Passo 4
Vamos montar uma tabela de valores para alguns
“legais” e assim ter pontos que ajudem a desenhar o gráfico:
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Cálculos rápidos:
-
. -
. -
. -
. -
.
Passo 5
Descrição do esboço do gráfico:
- Como
sempre, a curva é sempre não decrescente (nunca “desce”). - Em
há ponto de inflexão (muda de concavidade). - Para
, ; para , . - Passa pelos pontos da tabela, em especial por
e .
Resposta
O gráfico de
é uma curva de terceiro grau que cresce o tempo todo, com ponto de inflexão em
.
- Para
, a curva cresce mas está “curvada para baixo”. - Em
, a concavidade muda. - Para
, cresce “curvada para cima”.
Segue o esboço aproximado (você liga os pontos da tabela e respeita a concavidade):
• passa em
,
,
,
,
.
• cresce sempre e muda de “barriga” em .
• cresce sempre e muda de “barriga” em