Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (3).
x(t)=-1+t-3 t^2+3 t^3
Construa o gráfico da posição como função do tempo.

Passo 1

Resumo da questão: temos uma partícula cuja posição ao longo do tempo é dada por
x(t) = -1 + t - 3t^2 + 3t^3
Conteúdo envolvido: cálculo de derivadas (para estudar velocidade, monotonicidade e concavidade) e noções de esboço de gráfico de função polinomial de grau 3.
O que vamos usar:
  1. Derivada primeira para achar onde a função cresce, decresce ou faz ponto crítico.
  2. Derivada segunda para identificar concavidade e ponto de inflexão.
  3. Cálculo de em alguns valores de para montar uma tabela de pontos e ajudar no esboço.

Passo 2

Calculando a velocidade (derivada primeira):
x'(t) = ddtl(-1 + t -3t^2 +3t^3r) = 1 - 6t + 9t^2
Isso é um polinômio quadrático:
x'(t) = 9t^2 -6t +1
Para ver onde muda de sinal (pontos críticos), calculamos o discriminante:
De
Isso significa que há uma única raiz dupla em
t = 62cdot9 = 13
Como o coeficiente de em é positivo, para todo . Logo, a posição nunca decresce: a partícula está sempre se afastando ou “parando” momentaneamente em .

Passo 3

Calculando a aceleração (derivada segunda) para ver concavidade:
x''(t) = ddt(x'(t)) = ddt(9t^2 -6t +1) = 18t -6
Resolvendo 18t -6 =0 Longrightarrow t=618=13
Para , (concavidade para baixo); para , (concavidade para cima). Portanto o ponto de inflexão está em .

Passo 4

Vamos montar uma tabela de valores para alguns “legais” e assim ter pontos que ajudem a desenhar o gráfico:
Cálculos rápidos:
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Passo 5

Descrição do esboço do gráfico:
  1. Como sempre, a curva é sempre não decrescente (nunca “desce”).
  2. Em há ponto de inflexão (muda de concavidade).
  3. Para , ; para , .
  4. Passa pelos pontos da tabela, em especial por e .

Resposta

O gráfico de é uma curva de terceiro grau que cresce o tempo todo, com ponto de inflexão em .
  • Para , a curva cresce mas está “curvada para baixo”.
  • Em , a concavidade muda.
  • Para , cresce “curvada para cima”.
Segue o esboço aproximado (você liga os pontos da tabela e respeita a concavidade):
• passa em , , , , .
• cresce sempre e muda de “barriga” em .

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