Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (3).
x(t)=-1+t-3 t^2+3 t^3
Encontre a velocidade como função do tempo e seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a posição da partícula é
x(t) = -1 + t - 3,t^2 + 3,t^3
Conteúdo da matéria: derivada de uma função (especialmente de polinômios) e esboço de gráfico de uma função derivada (velocidade).
O que vamos precisar:
  1. Saber que a velocidade é a derivada .
  2. Regras básicas de derivação:
    • Derivada de constante é zero.
    • .
  3. Para o gráfico, entender que uma função quadrática forma uma parábola e como achar seu vértice.

Passo 2

Calcular v(t)=0 + 1 - 6t + 9t^2 Longrightarrow v(t)=9t^2 -6t +1 termo a termo:
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de é .
  3. Derivada de é .
  4. Derivada de é .
Somando tudo:
Teoria aplicada:
  • Usamos a linearidade da derivada (derivada da soma = soma das derivadas).
  • Aplicamos a regra do expoente ( ).

Passo 3

Agora o gráfico de tv = -b2a = --62cdot9 = 618 = 13, v(tv)=9l(tfrac13r)^2 -6l(tfrac13r)+1 = 1-2+1=0 :
  1. É uma parábola (função quadrática) que “abre para cima” porque o coeficiente de é positivo ( ).
  2. Vértice em Então o vértice é .
  3. Conforme , .
Esboço (modo “amigo”, sem precisão de escala):
    v
    ^
  4 |          *
  3 |       *
  2 |    *
  1 | *
  0 |_____*__________→ t
       0  1/3
A parábola cai até zero em e depois sobe.

Resposta

Velocidade:
boxedv(t)=dxdt=9t^2-6t+1
O gráfico é uma parábola que abre para cima, com vértice em .

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