Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (4).
x(t)=-1+t-t^2+t^3
Encontre a velocidade como função do tempo e seu gráfico.

Passo 1

Beleza, a questão diz que uma partícula se move numa linha com posição
x(t) = -1 + t - t^2 + t^3,
Isso é um problema de Cálculo: a matéria aqui é derivada de funções (derivada de polinômios) para achar velocidade. Vamos precisar lembrar que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo e usar a regra básica:
- Derivada de t^n é n,t^n-1.
- Constante some zero.

Passo 2

Definição: a velocidade v(t) é
v(t) = dxdt,
Agora derivamos x(t) termo a termo:
1. Derivada de -1 é 0.
2. Derivada de t é 1.
3. Derivada de -t^2 é -2t.
4. Derivada de t^3 é 3t^2.
Somando tudo:
v(t) = 0 + 1 - 2t + 3t^2 = 1 - 2t + 3t^2,

Passo 3

Para desenhar o gráfico de v(t)=3t^2-2t+1, pense assim:
  • É uma parábola porque tem termo t^2.
  • Coeficiente de t^2 é 3>0, então ela “abre para cima”.
  • Ponto no tempo t=0: v(0)=1.
  • Vértice da parábola em t = -b2a = --22cdot3 = tfrac13, com valor vl(tfrac13r)=1-2cdottfrac13+3l(tfrac13r)^2 = tfrac23,
    Logo o gráfico é uma curva que tem mínimo em (tfrac13,tfrac23) e cresce para os dois lados.

Resposta

A velocidade é
boxedv(t) = 1 - 2t + 3t^2,,
e seu gráfico é uma parábola de concavidade para cima, com valor mínimo v(tfrac13)=tfrac23,.

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