Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (4).
Construa o gráfico da posição como função do tempo.
Construa o gráfico da posição como função do tempo.
Passo 1
Beleza! Temos uma partícula cuja posição em função do tempo é
Isso é um polinômio de grau 3, então vamos usar noções de cálculo (derivada e concavidade) pra entender como desenhar a curva. A ideia é:
1. Ver se ela sobe ou desce (derivada primeira).
2. Ver de onde muda a “curvinha” (derivada segunda).
3. Marcar interceptos e comportamento para tempos muito grandes (limites).
Depois juntamos tudo num esboço do gráfico.
Passo 2
Derivada primeira e monotonicidade
A derivada nos diz se a função cresce ou decresce:
A derivada
Para achar “pontos críticos”, resolveríamos
. Mas olha só:
Como o discriminante é negativo e o coeficiente de
é positivo,
nunca zera e é sempre positivo.
Logo, é estritamente crescente em todo
.
Logo,
Passo 3
Derivada segunda e ponto de inflexão
A derivada segunda mostra a concavidade:
A derivada segunda mostra a concavidade:
Ponto de inflexão ocorre quando
:
O valor da função ali é
Então em
a curva troca de “curvão pra baixo” (concavidade negativa) para “curvão pra cima” (concavidade positiva).
Passo 4
Interceptos e comportamento nas extremidades
- Intercepto em
:
. Ponto . - Raiz real:
, então cruza o eixo em . - Como é um polinômio de grau ímpar com coeficiente de
positivo, - Para
, . - Para
, .
- Para
Passo 5
Esboçando o gráfico
Juntando tudo:
Juntando tudo:
- Função sempre cresce.
- Passa em
e . - Tem ponto de inflexão em
. - Concavidade negativa antes de
, positiva depois. - Vai de
até .
Resposta
O gráfico é uma curva cúbica que cresce o tempo todo, com formato “curvado para baixo” até
e “curvado para cima” depois. Ela cruza o eixo vertical em
, o eixo horizontal em
e tem ponto de inflexão em
.