Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (4).
x(t)=-1+t-t^2+t^3
Construa o gráfico da posição como função do tempo.

Passo 1

Beleza! Temos uma partícula cuja posição em função do tempo é
x(t) = -1 + t - t^2 + t^3,
Isso é um polinômio de grau 3, então vamos usar noções de cálculo (derivada e concavidade) pra entender como desenhar a curva. A ideia é:
1. Ver se ela sobe ou desce (derivada primeira).
2. Ver de onde muda a “curvinha” (derivada segunda).
3. Marcar interceptos e comportamento para tempos muito grandes (limites).
Depois juntamos tudo num esboço do gráfico.

Passo 2

Derivada primeira e monotonicidade
A derivada x'(t) = ddt(-1 + t - t^2 + t^3) = 1 - 2t + 3t^2 nos diz se a função cresce ou decresce:
3t^2 - 2t + 1 = 0 Longrightarrow De
Para achar “pontos críticos”, resolveríamos . Mas olha só:
Como o discriminante é negativo e o coeficiente de é positivo, nunca zera e é sempre positivo.
Logo, é estritamente crescente em todo .

Passo 3

Derivada segunda e ponto de inflexão
A derivada segunda mostra a concavidade:
x''(t) = ddt(1 - 2t + 3t^2) = -2 + 6t
Ponto de inflexão ocorre quando -2 + 6t = 0 Longrightarrow t = tfrac13 :
xl(tfrac13r) = -1 + tfrac13 - tfrac19 + tfrac127 = -27 + 9 - 3 + 127 = -2027
O valor da função ali é
Então em a curva troca de “curvão pra baixo” (concavidade negativa) para “curvão pra cima” (concavidade positiva).

Passo 4

Interceptos e comportamento nas extremidades
  1. Intercepto em :
    . Ponto .
  2. Raiz real: , então cruza o eixo em .
  3. Como é um polinômio de grau ímpar com coeficiente de positivo,
    • Para , .
    • Para , .

Passo 5

Esboçando o gráfico
Juntando tudo:
  • Função sempre cresce.
  • Passa em e .
  • Tem ponto de inflexão em .
  • Concavidade negativa antes de , positiva depois.
  • Vai de até .

Resposta

O gráfico é uma curva cúbica que cresce o tempo todo, com formato “curvado para baixo” até e “curvado para cima” depois. Ela cruza o eixo vertical em , o eixo horizontal em e tem ponto de inflexão em .

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