Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (4).
x(t)=-1+t-t^2+t^3
Em que instantes a partícula passa pela origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a partícula tem posição
x(t) = -1 + t - t^2 + t^3
e a gente precisa descobrir para quais instantes essa fica igual a zero, ou seja, quando ela passa pela origem.
Conteúdo: raízes de polinômio, Teorema do Resto/Fator e resolução de equação polinomial. Vamos usar a ideia de que, pra achar quando , basta resolver a equação cúbica e ver quais raízes são reais.

Passo 2

Primeiro, a gente impõe
x(t) = 0 Longrightarrow -1 + t - t^2 + t^3 = 0
Reescrevendo em ordem decrescente de grau:
t^3 ;-; t^2 ;+; t ;-; 1 = 0

Passo 3

Agora, pela Teoria das Raízes Racionais (possíveis raízes são divisores de 1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 : ), testamos :
Então é raiz. Pela fatoração, podemos dividir o polinômio por .

Passo 4

Fazendo a divisão sintética ou algébrica de
t^3 - t^2 + t - 1
por t^2 + 0cdot t + 1 = t^2 + 1 , sobra o quociente
t^3 - t^2 + t - 1 = (t - 1)(t^2 + 1)
Portanto

Passo 5

Agora, a gente resolve t^2 = -1 Longrightarrow t = pm i, :
que são raízes imaginárias. Como estamos falando de instantes de tempo reais, só interessa .

Resposta

A partícula passa pela origem exatamente em .

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