Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (5).
Construa o gráfico da posição como função do tempo.
Construa o gráfico da posição como função do tempo.
Passo 1
Beleza, a gente tem um exercício de Cálculo (funções e derivadas) que diz: “Uma partícula anda numa linha com posição
O que pedem é desenhar o gráfico de
em função de
.
Pra isso vamos precisar de:
Pra isso vamos precisar de:
- Derivar a função pra saber onde ela cresce e onde ela decresce (isso indica subidas e descidas no gráfico).
- Ver onde a derivada é zero pra achar máximos e mínimos (pontos de “ponta”).
- Derivar de novo pra saber a concavidade (curvatura).
- Calcular uns valores-chave de
pra plotar ponto a ponto.
Passo 2
Calcular a derivada, que é a velocidade (
).
Passo 3
Achar os pontos críticos, ou seja, resolver
:
Usando fórmula de segundo grau:
Logo
e
. Esses são candidatos a máximo/min.
Passo 4
Testar o sinal de
em cada intervalo:
- Para
, pegue : → cresce. - Entre
e , pegue : → decresce. - Para
, pegue : → cresce.
Conclusão: emtemos um pico (máximo local), e em um vale (mínimo local).
Passo 5
Agora a concavidade: derive de novo para achar a aceleração
Zero de
em
.
- Para
, → concavidade para baixo. - Para
, → concavidade para cima.
Passo 6
Calcular valores de
em pontos importantes pra marcar no gráfico:
Passo 7
Montando o esboço:
- Para
, . - Cresce até
(máx local em ). - Desce até
(mín local em ). - A partir de
cresce de novo, ficando cada vez mais íngreme (pois domina). - Concavidade muda em
.
Resposta
O gráfico de
é uma curva cúbica que:
- Vem de
, sobe até , - Desce até
, - E depois cresce indefinidamente, mudando de “curva pra baixo” para “curva pra cima” em
.