Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (5).
x(t)=1-t-t^2+t^3
Construa o gráfico da posição como função do tempo.

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício de Cálculo (funções e derivadas) que diz: “Uma partícula anda numa linha com posição
x(t)=1 - t - t^2 + t^3,
O que pedem é desenhar o gráfico de em função de .
Pra isso vamos precisar de:
  1. Derivar a função pra saber onde ela cresce e onde ela decresce (isso indica subidas e descidas no gráfico).
  2. Ver onde a derivada é zero pra achar máximos e mínimos (pontos de “ponta”).
  3. Derivar de novo pra saber a concavidade (curvatura).
  4. Calcular uns valores-chave de pra plotar ponto a ponto.

Passo 2

Calcular a derivada, que é a velocidade ( x(t)=1 - t - t^2 + t^3).
x'(t)=0 -1 -2t +3t^2 = 3t^2 -2t -1,

Passo 3

Achar os pontos críticos, ou seja, resolver 3t^2 -2t -1 = 0:
t=2pmraiz(-2)^2 -4cdot3cdot(-1)2cdot3 =2pmraiz4+126 =2pm46
Usando fórmula de segundo grau:
Logo e . Esses são candidatos a máximo/min.

Passo 4

Testar o sinal de em cada intervalo:
  • Para , pegue : → cresce.
  • Entre e , pegue : → decresce.
  • Para , pegue : → cresce.
    Conclusão: em temos um pico (máximo local), e em um vale (mínimo local).

Passo 5

Agora a concavidade: derive de novo para achar a aceleração
x''(t) = ddt(3t^2 -2t -1) = 6t -2
Zero de em .
  • Para , → concavidade para baixo.
  • Para , → concavidade para cima.

Passo 6

Calcular valores de em pontos importantes pra marcar no gráfico:

Passo 7

Montando o esboço:
  1. Para , .
  2. Cresce até (máx local em ).
  3. Desce até (mín local em ).
  4. A partir de cresce de novo, ficando cada vez mais íngreme (pois domina).
  5. Concavidade muda em .

Resposta

O gráfico de é uma curva cúbica que:
  • Vem de , sobe até ,
  • Desce até ,
  • E depois cresce indefinidamente, mudando de “curva pra baixo” para “curva pra cima” em .

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