Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (5).
x(t)=1-t-t^2+t^3
Indique em que instantes a partícula muda o sentido do movimento.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a partícula tem posição
x(t)=1 - t - t^2 + t^3,,
e pede pra gente achar em que instantes ela inverte o sentido do movimento. Isso é matéria de cinemática (derivada pra achar velocidade) e um pouquinho de equação do 2º grau pra encontrar quando a velocidade fica zero.

Passo 2

Primeiro a gente precisa achar a velocidade v(t), que é só a derivada de x(t). Lembra que derivada é a taxa de variação, ou seja:
v(t)=dxdt = ddtl(1 - t - t^2 + t^3r)
Derivando termo a termo:
- derivada de 1 é 0,
- de -t é -1,
- de -t^2 é -2t,
- de t^3 é 3t^2.
Logo:
v(t) = -1 - 2t + 3t^2

Passo 3

Agora a gente acha quando v(t)=0, porque mudar de sentido significa velocidade passando de positiva pra negativa (ou vice-versa). Então resolve:
-1 - 2t + 3t^2 = 0
Reescrevendo:
3t^2 - 2t - 1 = 0
Usa a fórmula de Bhaskara ( t = -bpmraizb^2-4ac2a) com a=3, b=-2, c=-1:
De
t = 2 pm raiz166 = 2 pm 46
Então os dois valores são
t = 2+46 = 1, t = 2-46 = -tfrac13

Passo 4

Pra ver se de fato muda de sentido, a gente faz um “teste de sinal” da v(t) em cada intervalo:
  • Para t < -tfrac13, escolhe t=-1: v(-1)=-1 -2(-1)+3(-1)^2 = 4>0.
  • Entre -tfrac13 e 1, escolhe t=0: v(0)=-1<0.
  • Para t>1, escolhe t=2: v(2)=-1 -4 +12 =7>0.
    Ou seja, a velocidade vai de positiva pra negativa em t=-tfrac13, e de negativa pra positiva em t=1.

Resposta

A partícula muda o sentido do movimento em t = -tfrac13 e em t = 1.

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