Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (5).
x(t)=1-t-t^2+t^3
Em que instantes a partícula passa pela origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Tranquilo! O problema diz: “Temos uma partícula se movendo numa reta, cuja posição em função do tempo é
x(t)=1 - t - t^2 + t^3,
Queremos descobrir em que instantes ela passa pela origem (isto é, quando x(t)=0).
Conteúdo: resolver uma equação polinomial de grau 3 (raiz de polinômio).
O que vamos precisar:
- Entender que “passar pela origem” significa achar t tal que x(t)=0.
- Saber o Teorema das Raízes Racionais para achar candidatos a raízes inteiras.
- Fazer divisão de polinômio ou fatoração para reduzir o grau.

Passo 2

Primeiro passo de fato: escrever a condição de passagem pela origem.
Queremos
x(t)=1 - t - t^2 + t^3 = 0,
Isso é um polinômio de grau 3 em t. A gente chama de equação cúbica:
t^3 - t^2 - t + 1 = 0,

Passo 3

Agora vamos buscar raízes desse polinômio.
Teorema das Raízes Racionais (simplificado):
Se há uma raiz racional na forma tfracpq (com p,q inteiros sem fator comum), então p divide o termo constante (que é 1) e q divide o coeficiente líder (que é 1).
Como aqui ambos são pm1, os únicos candidatos são t=1 ou t=-1.
Testa t=1:
1^3 - 1^2 -1 +1 = 1 -1 -1 +1 = 0
Beleza, t=1 é raiz.
Testa t=-1:
(-1)^3 - (-1)^2 -(-1) +1 = -1 -1 +1 +1 = 0
Também dá zero! Então t=-1 também é raiz.

Passo 4

Como achamos duas raízes ( t=1 e t=-1), podemos fatorar o polinômio. Primeiro tiramos, por exemplo, (t-1):
Fazendo divisão ou sabendo que
t^3 - t^2 - t +1 = (t-1),(t^2 + at + b)
Para achar a e b, você pode distribuir e igualar coeficientes, ou fazer divisão polinomial. Dá:
t^3 - t^2 - t +1 = (t-1),(t^2 -1),
E aí t^2 -1 também é diferença de quadrados:
t^2-1=(t-1)(t+1),
Logo
t^3 - t^2 - t +1 = (t-1)^2 (t+1),
As raízes são as soluções de cada fator zerando:
  • t-1=0;Rightarrow;t=1 (com multiplicidade 2, mas vale uma só vez como instante),
  • $t+1=0;\Rightarrow;t=-1,. $

Resposta

A partícula passa pela origem nos instantes
t = -1 e t = 1,

Exercícios relacionados