Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (5).
Em que instantes a partícula passa pela origem do sistema de coordenadas.
Em que instantes a partícula passa pela origem do sistema de coordenadas.
Passo 1
Tranquilo! O problema diz: “Temos uma partícula se movendo numa reta, cuja posição em função do tempo é
Queremos descobrir em que instantes ela passa pela origem (isto é, quando
Conteúdo: resolver uma equação polinomial de grau 3 (raiz de polinômio).
O que vamos precisar:
- Entender que “passar pela origem” significa achar
- Saber o Teorema das Raízes Racionais para achar candidatos a raízes inteiras.
- Fazer divisão de polinômio ou fatoração para reduzir o grau.
Passo 2
Primeiro passo de fato: escrever a condição de passagem pela origem.
Queremos
Queremos
Isso é um polinômio de grau 3 em
Passo 3
Agora vamos buscar raízes desse polinômio.
Teorema das Raízes Racionais (simplificado):
Se há uma raiz racional na forma (com
inteiros sem fator comum), então
divide o termo constante (que é
) e
divide o coeficiente líder (que é
).
Como aqui ambos são , os únicos candidatos são
ou
.
Teorema das Raízes Racionais (simplificado):
Se há uma raiz racional na forma
Como aqui ambos são
Testa
:
Beleza,
Testa
:
Também dá zero! Então
Passo 4
Como achamos duas raízes (
e
), podemos fatorar o polinômio. Primeiro tiramos, por exemplo,
:
Fazendo divisão ou sabendo que
Fazendo divisão ou sabendo que
Para achar
E aí
também é diferença de quadrados:
Logo
As raízes são as soluções de cada fator zerando:
-
(com multiplicidade 2, mas vale uma só vez como instante), - $t+1=0;\Rightarrow;t=-1,. $
Resposta
A partícula passa pela origem nos instantes