Um bloco de massa M é puxado verticalmente para cima com uma corda de massa desprezível e o movimento ocorre próximo à superfície da terra. A altura da partícula em relação ao solo varia como função do tempo segundo a função (6), sendo a uma constante diferente de zero e c e d duas constantes quaisquer.
h(t)=b+c t+a t^2
Encontre a velocidade como função do tempo e seu gráfico.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um bloco sobe e sua altura em função do tempo é
h(t)=b+c,t+a,t^2
onde aneq0 e b,c são constantes. O conteúdo aqui é cinemática básica: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Para resolver, vamos precisar entender o que é derivada e as regras de derivação de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, lembra que velocidade v(t) é a taxa de variação da altura, ou seja
v(t)=dhdt,
Na matemática, isso significa aplicar a definição de derivada, mas na prática usamos as regras prontas:
- Derivada de constante é zero.
- Derivada de k,t é k.
- Derivada de k,t^n é kcdot n,t^n-1.

Passo 3

Agora derivamos cada termo de h(t):
  1. d(b)/dt=0, porque b é constante.
  2. d(c,t)/dt=c.
  3. d(a,t^2)/dt=acdot2,t=2a,t.
Somando tudo:
v(t)=0 + c + 2a,t=;c+2a,t,

Passo 4

Pra desenhar o gráfico de v(t)=c+2a,t, imagine no plano:
  • Eixo horizontal é t, eixo vertical é v.
  • Em t=0, v(0)=c (ponto de intercepto).
  • A inclinação da reta é 2a (se a>0, a reta sobe; se a<0, ela desce).
Então é só uma reta que parte de (0,c) e cresce (ou decresce) com ângulo determinado por 2a.

Resposta

Função velocidade:
v(t)=c+2a,t,
Gráfico: reta com intercepto c em t=0 e inclinação 2a,.

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