Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (1).
x(t)=2 cos (4 t)
Encontre a equação de movimento da partícula.

Passo 1

O exercício diz que a partícula se move numa linha com posição
x(t) = 2 cos(4t)
O conteúdo aqui é Movimento Harmônico Simples (MHS) e equações diferenciais de 2º ordem. Para resolver, vamos lembrar como tirar derivadas de funções de seno e cosseno e como esses resultados se ligam à equação de movimento (posição, velocidade e aceleração).

Passo 2

Primeiro, vamos achar a velocidade v(t) = dxdt = ddtl[2cos(4t)r] derivando v(t) = 2 times l(-sin(4t)r)times 4 = -8sin(4t) :
Usamos a regra da cadeia: a derivada de é ,×, . Aqui e , então

Passo 3

Agora achamos a aceleração a(t) = dvdt = ddtl[-8sin(4t)r] , que é a derivada de a(t) = -8 times cos(4t)times 4 = -32cos(4t) :
Novamente, derivada de é ,×, , com e :

Passo 4

Repare que a(t) = -32cos(4t) = -32;x(t)2 = -16,x(t) . Então
d^2xdt^2 + 16,x(t) = 0
Em forma de equação diferencial, isso fica
Essa é a equação de movimento para um MHS com frequência angular .

Resposta

A equação de movimento da partícula é
boxedd^2xdt^2 + 16,x(t) = 0

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