Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (2).
x(t)=1-t+3 t^2-3 t^3
Encontre a velocidade como função do tempo e seu gráfico.

Passo 1

Beleza, manda o enunciado: temos uma partícula que se move numa linha com a posição dada por
x(t) = 1 - t + 3t^2 - 3t^3
Queremos achar a velocidade (que é a derivada de em relação a ) e desenhar o gráfico.
Conteúdo: derivadas de funções polinomiais. Para isso vamos usar:
  • Derivada de é .
  • Derivada é linear (derivada da soma é soma das derivadas, e constantes viram zero).

Passo 2

Vamos derivar termo a termo:
v(t) = dxdt = ddtl(1r) ;-;ddt(t);+;3,ddt(t^2);-;3,ddt(t^3)
Agora aplicando as regras:

Passo 3

Substituindo:
v(t) = 0 - 1 + 3cdot(2t) - 3cdot(3t^2) = -1 + 6t - 9t^2

Passo 4

Hora do gráfico! vl(tfrac13r) = -1 + 6!cdot!tfrac13 -9!cdot!l(tfrac13r)^2 = -1 +2 -1 = 0 é uma parábola com “a” negativo (abre para baixo).
  • Vértice em .
  • Valor no vértice:
Ou seja, toca o eixo -horizontal em .
  • Em , .
    Portanto o gráfico é uma parábola voltada para baixo, começa em quando , sobe até zero em e depois volta a cair.

Resposta

boxedv(t) = -1 + 6t - 9t^2,
com gráfico de parábola voltada para baixo, vértice em e intercepto em .

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