Uma partícula desloca-se ao logo de uma linha segundo a posição dada por (2).
x(t)=1-t+3 t^2-3 t^3
Em que instantes a partícula passa pela origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, a gente tem uma partícula que se move numa reta e sua posição em função do tempo é dada por
x(t) = 1 - t + 3,t^2 - 3,t^3
O que a questão pede é: em que instantes essa partícula passa pela origem (ou seja, quando ).
Conteúdo: polinômios, raízes de função polinomial e Teorema do Resto. Vamos usar factor‐division pra encontrar essas raízes.

Passo 2

Primeiro passo da resolução: impôr a condição de passagem pela origem. Então a gente faz
x(t) = 0 Longrightarrow 1 - t + 3t^2 - 3t^3 = 0

Passo 3

Agora precisamos achar as raízes desse polinômio cúbico
-3t^3 +3t^2 - t +1 = 0
Uma dica prática (Teorema do Resto) é testar valores inteiros pequenos. Vamos testar -3,(1)^3 +3,(1)^2 - 1 +1 = -3 +3 -1 +1 = 0:
Ou seja, é raiz.

Passo 4

Como -3t^2 + 0cdot t -1 = -3t^2 -1 é raiz, dividimos o polinômio por -3t^3 +3t^2 - t +1 = (t-1),(-3t^2 -1) . Fazendo a divisão (ou usando esquema de Briot‐Ruffini) sobre
por , obtemos o quociente
e resto zero. Então

Passo 5

O fator -3t^2 = 1 Longrightarrow t^2 = -tfrac13, leva a
que não tem solução real (só complexa). Como a partícula está no mundo real, descartamos essas.

Resposta

A partícula passa pela origem somente em
boxedt = 1 (unidade de tempo)

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