Com o Método dos Coeficientes a Determinar (MCD), encontre a solução geral da edo.
y^prime prime prime-y^prime prime-y^prime+y=x^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de terceira ordem
y''' - y'' - y' + y = x^2
Usaremos dois ingredientes:
  1. Resolver a equação homogênea associada y''' - y'' - y' + y = 0 via equação característica.
  2. Encontrar uma solução particular de grau 2 em x pelo Método dos Coeficientes a Determinar (MCD).

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação característica
r^3 - r^2 - r + 1 = 0
Fatorando por agrupamento:
r^2(r-1) -1(r-1)=(r-1)(r^2-1)=(r-1)^2(r+1)=0
Logo as raízes são r=1 (multiplicidade 2) e r=-1. Daí a solução geral homogênea é
yh = C1e^x + C2,x e^x + C3e^-x

Passo 3

Buscamos uma solução particular
Então
Substituindo em
Agrupando termos:
Comparando coeficientes obtemos o sistema
Daí e , logo

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = yh + yp = C1e^x + C2,x e^x + C3e^-x + x^2 + 2x + 4

Resposta

y(x) = C1e^x + C2,x e^x + C3e^-x + x^2 + 2x + 4

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