Considere
a) Encontre
.
b) Determine
a) Encontre
b) Determine
Passo 1
O problema pede duas coisas:
- Encontrar a derivada
da função
- Calcular o valor
.
Informações dadas no enunciado que vamos usar:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é
. - Não há outras restrições visíveis no enunciado (como domínio explicitado), portanto usaremos as fórmulas usuais de derivação de quociente, potência e funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos lembrar as fórmulas que precisamos (explicando passo a passo e com exemplos pequenos para fixar):
- Regra do quociente: se
, então
Aqui
é o numerador e
é o denominador.
-
Regra da potência (derivada de
): se , então .
Ex.:. -
Derivada de função trigonométrica com regra da cadeia: se
, então .
Ex.:.
Agora identificamos:
Calculemos
e
separadamente.
Passo 3
Derivada do numerador
:
- Pela regra da potência e linearidade:
Derivada do denominador
:
- Primeiro, a constante
multiplica tudo, então
- Pela regra da cadeia
. Então
Passo 4
Aplicando a regra do quociente com
que calculamos:
Substituindo:
Agora simplificamos os sinais e fatores:
Podemos dividir numerador e denominador por
para simplificar um pouco:
Essa é uma forma limpa e suficiente para usar na prova. (Se preferir, dá para expandir os termos, mas não é necessário.)
Passo 5
Agora vamos calcular
. Primeiro avaliamos os trigonométricos em
:
Compute
em
:
Agora substituímos na expressão simplificada de
. Usando a forma antes da divisão por
(para evitar erro de cancelamento), temos
Em
, o termo com
zera, então o numerador fica
O denominador é
. Portanto