Considere f(x)=\frac{5 x^{4}-4 x-1}{2 \cos (2 x)}
a) Encontre f^{\prime}(x).
b) Determine f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)

Passo 1

O problema pede duas coisas:
  1. Encontrar a derivada f'(x) da função
f(x)=\frac{5 x^{4}-4 x-1}{2 \cos (2 x)}.
  1. Calcular o valor f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Informações dadas no enunciado que vamos usar:
  • O numerador é o polinômio 5 x^{4}-4 x-1.
  • O denominador é 2\cos(2x).
  • Não há outras restrições visíveis no enunciado (como domínio explicitado), portanto usaremos as fórmulas usuais de derivação de quociente, potência e funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas que precisamos (explicando passo a passo e com exemplos pequenos para fixar):
  • Regra do quociente: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) é o numerador e v(x) é o denominador.
  • Regra da potência (derivada de x^{n}): se h(x)=x^{n}, então h'(x)=n x^{n-1}.
    Ex.: \dfrac{d}{dx}x^{4}=4x^{3}.
  • Derivada de função trigonométrica com regra da cadeia: se r(x)=\cos(kx), então r'(x)=-\sin(kx)\cdot k.
    Ex.: \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-\sin(2x)\cdot 2.
Agora identificamos:
u(x)=5x^{4}-4x-1,\qquad v(x)=2\cos(2x).
Calculemos u'(x) e v'(x) separadamente.

Passo 3

Derivada do numerador u(x)=5x^{4}-4x-1:
  • Pela regra da potência e linearidade:
u'(x)=\frac{d}{dx}(5x^{4})-\frac{d}{dx}(4x)-\frac{d}{dx}(1)=5\cdot 4x^{3}-4-0=20x^{3}-4.
Derivada do denominador v(x)=2\cos(2x):
  • Primeiro, a constante 2 multiplica tudo, então
v'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\cos(2x).
  • Pela regra da cadeia \dfrac{d}{dx}\cos(2x)=-\sin(2x)\cdot 2. Então
v'(x)=2\cdot(-\sin(2x)\cdot 2)=-4\sin(2x).

Passo 4

Aplicando a regra do quociente com u,u',v,v' que calculamos:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{(20x^{3}-4)\cdot(2\cos(2x))-(5x^{4}-4x-1)\cdot(-4\sin(2x))}{\bigl(2\cos(2x)\bigr)^{2}}.
Agora simplificamos os sinais e fatores:
f'(x)=\frac{2(20x^{3}-4)\cos(2x)+4(5x^{4}-4x-1)\sin(2x)}{4\cos^{2}(2x)}.
Podemos dividir numerador e denominador por 2 para simplificar um pouco:
f'(x)=\frac{(20x^{3}-4)\cos(2x)+2(5x^{4}-4x-1)\sin(2x)}{2\cos^{2}(2x)}.
Essa é uma forma limpa e suficiente para usar na prova. (Se preferir, dá para expandir os termos, mas não é necessário.)

Passo 5

Agora vamos calcular f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right). Primeiro avaliamos os trigonométricos em x=\dfrac{\pi}{2}:
2x=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi,\qquad \cos(\pi)=-1,\qquad \sin(\pi)=0.
Compute 20x^{3}-4 em x=\dfrac{\pi}{2}:
20\left(\frac{\pi}{2}\right)^{3}-4=20\cdot\frac{\pi^{3}}{8}-4=\frac{20}{8}\pi^{3}-4=\frac{5}{2}\pi^{3}-4.
Agora substituímos na expressão simplificada de f'(x). Usando a forma antes da divisão por 2 (para evitar erro de cancelamento), temos
f'(x)=\frac{2(20x^{3}-4)\cos(2x)+4(5x^{4}-4x-1)\sin(2x)}{4\cos^{2}(2x)}.
Em x=\dfrac{\pi}{2}, o termo com \sin(2x) zera, então o numerador fica
2\biggl(\frac{5}{2}\pi^{3}-4\biggr)\cdot(-1)= -2\Bigl(\frac{5}{2}\pi^{3}-4\Bigr)= -5\pi^{3}+8.
O denominador é \bigl(2\cos(2x)\bigr)^{2}=(2\cdot(-1))^{2}=4. Portanto
f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{-5\pi^{3}+8}{4} = -\frac{5}{4}\pi^{3}+2.

Resposta

f'(x)=\frac{(20x^{3}-4)\cos(2x)+2(5x^{4}-4x-1)\sin(2x)}{2\cos^{2}(2x)}
f'\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{5}{4}\pi^{3}+2

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