Uma pessoa de massa m=60 \mathrm{~kg} está parada na popa de um barco de massa M=120 \mathrm{~kg} e comprimento L=3,0 \mathrm{~m}, que flutua livremente sobre águas calmas (assuma atrito com a água desprezível). A pessoa caminha da popa até a proa do barco. Qual é a distância que o barco se desloca em relação à margem (água) durante este processo?
a) 0,50 \mathrm{~m}
b) 1,0 \mathrm{~m}
c) 1,5 \mathrm{~m}
d) 2,0 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Massa da pessoa: m=60\\ \mathrm{kg}.
  • Massa do barco: M=120\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento do barco: L=3,0\\ \mathrm{m}.
  • A pessoa está inicialmente parada na popa e caminha até a proa (ou seja, percorre uma distância L relativa ao barco).
  • O barco flutua livremente sobre a água e o atrito horizontal com a água é desprezível.
O que o problema pede:
  • Determinar a distância que o barco se desloca em relação à margem (água) durante o processo em que a pessoa caminha da popa à proa.

Passo 2

Ideia física que vamos usar (explicação didática):
Quando não há forças externas horizontais atuando no sistema pessoa+barco (a água não exerce força horizontal significativa aqui), a posição do centro de massa do sistema em relação à margem não muda enquanto a pessoa caminha. Isso significa que, embora a pessoa se desloque em relação ao barco, o conjunto pessoa+barco ajusta-se (o barco desloca-se) de modo que o centro de massa do sistema permaneça fixo na água.
Vamos escrever isso matematicamente. Para duas massas m (pessoa) e M (barco) ao longo de uma linha, a posição do centro de massa X_{\text{CM}} é dada por
X_{\text{CM}}=\frac{m X_p + M X_b}{m+M},
onde X_p é a posição da pessoa e X_b é a posição do centro do barco, ambas medidas em relação à margem (eixos alinhados com o comprimento do barco). Como não há força externa horizontal, X_{\text{CM}} é constante durante o processo.

Passo 3

Escolha de coordenadas e posições iniciais/finais:
  • Seja X_{b0} a posição inicial do centro do barco (em relação à margem).
  • Seja X_{bf} a posição final do centro do barco (após a pessoa caminhar).
  • A popa corresponde à posição relativa -\tfrac{L}{2} em relação ao centro do barco, e a proa a +\tfrac{L}{2}.
Portanto:
  • Posição inicial da pessoa: X_{p0}=X_{b0}-\tfrac{L}{2}.
  • Posição final da pessoa: X_{pf}=X_{bf}+\tfrac{L}{2}.
Conservação da posição do centro de massa (mesmo X_{\text{CM}} inicial e final) nos dá:
\frac{m X_{p0} + M X_{b0}}{m+M}=\frac{m X_{pf} + M X_{bf}}{m+M}.
Multiplicando ambos os lados por m+M e substituindo X_{p0} e X_{pf}:
m\left(X_{b0}-\frac{L}{2}\right)+M X_{b0}=m\left(X_{bf}+\frac{L}{2}\right)+M X_{bf}.

Passo 4

Resolver a equação para o deslocamento do barco \Delta X_b=X_{bf}-X_{b0}:
Primeiro expandir e rearranjar:
(m+M)X_{b0}-m\frac{L}{2}=(m+M)X_{bf}+m\frac{L}{2}.
Levar os termos com X_{b} para um lado:
(m+M)(X_{b0}-X_{bf})=m\frac{L}{2}+m\frac{L}{2}=mL.
Portanto
X_{b0}-X_{bf}=\frac{mL}{m+M}.
Logo o deslocamento do centro do barco é
\Delta X_b=X_{bf}-X_{b0}=-\frac{mL}{m+M}.
O sinal negativo indica que o barco desloca-se no sentido oposto ao movimento da pessoa. A magnitude do deslocamento (distância em relação à margem) é
\left|\Delta X_b\right|=\frac{mL}{m+M}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos:
\left|\Delta X_b\right|=\frac{60\cdot 3{,}0}{60+120}=\frac{180}{180}=1{,}0\\ \mathrm{m}.
Interpretação: enquanto a pessoa caminha da popa à proa (para a frente), o barco desloca-se 1{,}0\\ \mathrm{m} na direção contrária, medido em relação à margem. Portanto a resposta corresponde à alternativa correta.

Resposta

b) 1,0\\ \mathrm{m}

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