Uma pessoa de massa
está parada na popa de um barco de massa
e comprimento
, que flutua livremente sobre águas calmas (assuma atrito com a água desprezível). A pessoa caminha da popa até a proa do barco. Qual é a distância que o barco se desloca em relação à margem (água) durante este processo?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Massa da pessoa:
. - Massa do barco:
. - Comprimento do barco:
. - A pessoa está inicialmente parada na popa e caminha até a proa (ou seja, percorre uma distância
relativa ao barco). - O barco flutua livremente sobre a água e o atrito horizontal com a água é desprezível.
O que o problema pede:
- Determinar a distância que o barco se desloca em relação à margem (água) durante o processo em que a pessoa caminha da popa à proa.
Passo 2
Ideia física que vamos usar (explicação didática):
Quando não há forças externas horizontais atuando no sistema pessoa+barco (a água não exerce força horizontal significativa aqui), a posição do centro de massa do sistema em relação à margem não muda enquanto a pessoa caminha. Isso significa que, embora a pessoa se desloque em relação ao barco, o conjunto pessoa+barco ajusta-se (o barco desloca-se) de modo que o centro de massa do sistema permaneça fixo na água.
Quando não há forças externas horizontais atuando no sistema pessoa+barco (a água não exerce força horizontal significativa aqui), a posição do centro de massa do sistema em relação à margem não muda enquanto a pessoa caminha. Isso significa que, embora a pessoa se desloque em relação ao barco, o conjunto pessoa+barco ajusta-se (o barco desloca-se) de modo que o centro de massa do sistema permaneça fixo na água.
Vamos escrever isso matematicamente. Para duas massas
(pessoa) e
(barco) ao longo de uma linha, a posição do centro de massa
é dada por
onde
é a posição da pessoa e
é a posição do centro do barco, ambas medidas em relação à margem (eixos alinhados com o comprimento do barco). Como não há força externa horizontal,
é constante durante o processo.
Passo 3
Escolha de coordenadas e posições iniciais/finais:
- Seja
a posição inicial do centro do barco (em relação à margem). - Seja
a posição final do centro do barco (após a pessoa caminhar). - A popa corresponde à posição relativa
em relação ao centro do barco, e a proa a .
Portanto:
- Posição inicial da pessoa:
. - Posição final da pessoa:
.
Conservação da posição do centro de massa (mesmo
inicial e final) nos dá:
Multiplicando ambos os lados por
e substituindo
e
:
Passo 4
Resolver a equação para o deslocamento do barco
:
Primeiro expandir e rearranjar:
Primeiro expandir e rearranjar:
Levar os termos com
para um lado:
Portanto
Logo o deslocamento do centro do barco é
O sinal negativo indica que o barco desloca-se no sentido oposto ao movimento da pessoa. A magnitude do deslocamento (distância em relação à margem) é
Passo 5
Substituir os valores numéricos:
Interpretação: enquanto a pessoa caminha da popa à proa (para a frente), o barco desloca-se
na direção contrária, medido em relação à margem. Portanto a resposta corresponde à alternativa correta.
Resposta
b)