Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com função de posição
. Determine
, sabendo que
e
.
(a)
.
(b)
,
©
(d)
.
(e)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Então, pessoal, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! A gente tem uma partícula que se move no eixo $ x $ com uma função de posição $ x(t) $. O que precisamos descobrir é essa função $ x(t) $ sabendo que a segunda derivada de $ x $ em relação ao tempo $ t $ é $ \cos 2t $, e que inicialmente, quando $ t = 0 $, a velocidade $ v(0) = 1 $ e a posição $ x(0) = 0 $. Vamos usar cálculo, especificamente integrais, para encontrar $ x(t) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a segunda derivada $ \frac{d{2}x}{dt{2}} $ representa a aceleração da partícula. Aqui, a aceleração é $ \cos 2t $. Para encontrar a velocidade, que é a primeira derivada $ v(t) = \frac{dx}{dt} $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Então, vamos integrar $ \cos 2t $:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição inicial da velocidade para encontrar $ C $. Sabemos que $ v(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ na equação da velocidade:
Então, a expressão para a velocidade é:
Passo 4
Agora, para encontrar a posição $ x(t) $, vamos integrar a função da velocidade:
Onde $ D $ é outra constante de integração.
Passo 5
Vamos usar a condição inicial da posição para encontrar $ D $. Sabemos que $ x(0) = 0 $. Substituindo $ t = 0 $ na equação da posição:
Portanto, a expressão final para a posição é:
Resposta
A resposta correta é a opção (e):