Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função de posição x=x(t), t >= 0. Determine x=x(t), sabendo que d^2 xd t^2=cos 2 t, v(0)=1 e x(0)=0.
(a) x=cos 2 t+t+1.
(b) x=-cos 2 t+t+14,
© x=-14 cos 2 t+t+1
(d) x=-12 cos 2 t+t+12.
(e) x=-14 cos 2 t+t+14

Passo 1

Então, pessoal, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! A gente tem uma partícula que se move no eixo $ x $ com uma função de posição $ x(t) $. O que precisamos descobrir é essa função $ x(t) $ sabendo que a segunda derivada de $ x $ em relação ao tempo $ t $ é $ \cos 2t $, e que inicialmente, quando $ t = 0 $, a velocidade $ v(0) = 1 $ e a posição $ x(0) = 0 $. Vamos usar cálculo, especificamente integrais, para encontrar $ x(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a segunda derivada $ \frac{d{2}x}{dt{2}} $ representa a aceleração da partícula. Aqui, a aceleração é $ \cos 2t $. Para encontrar a velocidade, que é a primeira derivada $ v(t) = \frac{dx}{dt} $, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Então, vamos integrar $ \cos 2t $:
d^2xdt^2
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos usar a condição inicial da velocidade para encontrar $ C $. Sabemos que $ v(0) = 1 $. Substituindo $ t = 0 $ na equação da velocidade:
C
Então, a expressão para a velocidade é:
v(0) = 1

Passo 4

Agora, para encontrar a posição $ x(t) $, vamos integrar a função da velocidade:
x(t)
Onde $ D $ é outra constante de integração.

Passo 5

Vamos usar a condição inicial da posição para encontrar $ D $. Sabemos que $ x(0) = 0 $. Substituindo $ t = 0 $ na equação da posição:
D
Portanto, a expressão final para a posição é:
x(0) = 0

Resposta

A resposta correta é a opção (e):
x = -14 cos 2t + t + 14

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