5.8 Determine a função de corrente y que produzirá o campo de velocidade
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional e pede a função de corrente (função de corrente geralmente denotada por
) que gera esse campo. Dados fornecidos:
Ou seja, os componentes são
A pergunta explícita: determinar a função de corrente
tal que o campo dado seja gerado por
.
Passo 2
Por que existe uma função de corrente? Vou explicar de forma simples: para um fluxo 2D incompressível (sem fonte ou sumidouro), a divergência do campo de velocidade é zero; isso garante a existência local de uma função de corrente
. Calculemos a divergência do campo dado:
Compute cada termo:
Somando,
Como a divergência é zero, existe uma função de corrente
.
Passo 3
Qual é a relação entre
e os componentes
? Vou usar a convenção comum:
Explico rápido: essa definição garante automaticamente
(porque as derivadas mistas se cancelam), então é consistente com fluxo incompressível. É só uma escolha de sinal padrão; se alguém usar a outra convenção (sinal trocado) o resultado seria o mesmo até uma constante de sinal.
Passo 4
Vamos construir
integrando
em relação a
. Como
, temos
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque derivando em
ela some). Substituindo
,
Integre termo a termo:
Assim
Passo 5
Agora usamos a relação com
para determinar
. Pela convenção,
Calcule
:
Então
Mas sabemos que
é
. Igualando:
Os termos
cancelam dos dois lados, sobrando
Logo
Passo 6
Integramos
para obter
:
onde
é uma constante real (constante de integração final). Substituindo em
,
Podemos, se quisermos, escolher
sem perda de generalidade (função de corrente é determinada até uma constante aditiva).
Passo 7
Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcule
e
da expressão final e confirme que retornam
e
.
Tudo confere.
Resposta
onde
é uma constante arbitrária.