5.8 Determine a função de corrente y que produzirá o campo de velocidade V=2 y(2 x+1) i+\left[x(x+1)-2 y^{2}\right] j V

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional e pede a função de corrente (função de corrente geralmente denotada por \psi) que gera esse campo. Dados fornecidos:
V = 2y(2x+1)\,\mathbf{i} + \bigl[x(x+1)-2y^{2}\bigr]\,\mathbf{j}.
Ou seja, os componentes são
u(x,y)=2y(2x+1)=4xy+2y,
v(x,y)=x(x+1)-2y^{2}=x^{2}+x-2y^{2}.
A pergunta explícita: determinar a função de corrente \psi(x,y) tal que o campo dado seja gerado por \psi.

Passo 2

Por que existe uma função de corrente? Vou explicar de forma simples: para um fluxo 2D incompressível (sem fonte ou sumidouro), a divergência do campo de velocidade é zero; isso garante a existência local de uma função de corrente \psi. Calculemos a divergência do campo dado:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.
Compute cada termo:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(4xy+2y)=4y,
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+x-2y^{2})=-4y.
Somando,
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=4y-4y=0.
Como a divergência é zero, existe uma função de corrente \psi(x,y).

Passo 3

Qual é a relação entre \psi e os componentes u,v? Vou usar a convenção comum:
u=\frac{\partial \psi}{\partial y},\qquad v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Explico rápido: essa definição garante automaticamente \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0 (porque as derivadas mistas se cancelam), então é consistente com fluxo incompressível. É só uma escolha de sinal padrão; se alguém usar a outra convenção (sinal trocado) o resultado seria o mesmo até uma constante de sinal.

Passo 4

Vamos construir \psi integrando u em relação a y. Como u=\partial\psi/\partial y, temos
\psi(x,y)=\int u(x,y)\,dy + C(x),
onde C(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x (porque derivando em y ela some). Substituindo u=4xy+2y,
\psi(x,y)=\int (4xy+2y)\,dy + C(x).
Integre termo a termo:
\int 4xy\,dy = 4x\int y\,dy = 4x\cdot\frac{y^{2}}{2}=2xy^{2},
\int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2}.
Assim
\psi(x,y)=2xy^{2}+y^{2}+C(x)=\bigl(2x+1\bigr)y^{2}+C(x).

Passo 5

Agora usamos a relação com v para determinar C(x). Pela convenção,
v=-\frac{\partial \psi}{\partial x}.
Calcule \partial\psi/\partial x:
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl((2x+1)y^{2}+C(x)\bigr)=2y^{2}+C'(x).
Então
v=-\bigl(2y^{2}+C'(x)\bigr)=-2y^{2}-C'(x).
Mas sabemos que v é x^{2}+x-2y^{2}. Igualando:
-2y^{2}-C'(x)=x^{2}+x-2y^{2}.
Os termos -2y^{2} cancelam dos dois lados, sobrando
-C'(x)=x^{2}+x.
Logo
C'(x)=-x^{2}-x.

Passo 6

Integramos C'(x) para obter C(x):
C(x)=\int (-x^{2}-x)\,dx = -\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+C_{0},
onde C_{0} é uma constante real (constante de integração final). Substituindo em \psi,
\psi(x,y)=\bigl(2x+1\bigr)y^{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+C_{0}.
Podemos, se quisermos, escolher C_{0}=0 sem perda de generalidade (função de corrente é determinada até uma constante aditiva).

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcule \partial\psi/\partial y e -\partial\psi/\partial x da expressão final e confirme que retornam u e v.
\frac{\partial\psi}{\partial y}=2y(2x+1)=u,
-\frac{\partial\psi}{\partial x}=-\bigl(2y^{2}-x^{2}-x\bigr)=x^{2}+x-2y^{2}=v.
Tudo confere.

Resposta

\psi(x,y)=(2x+1)y^{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é uma constante arbitrária.

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