Uma partícula se desloca em trajetória retilínea e aceleração constante. Em relação à situação descrita é correto afirmar que:

Escolha uma ou mais:

  • A aceleração da partícula em cada instante é igual a aceleração média calculada em qualquer intervalo de tempo do movimento.
  • O sinal da aceleração da partícula é certamente negativo se o módulo da velocidade diminui.
  • A inclinação da reta tangente à curva em cada instante no gráfico de velocidade em função do tempo é constante.
  • A aceleração tangencial é nula.
  • Os sinais da velocidade e da aceleração serão os mesmo se o módulo da velocidade aumenta com o tempo.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula que se desloca em trajetória retilínea e tem aceleração constante. Preciso analisar cada uma das cinco afirmações dadas e dizer quais são corretas ou incorretas. As afirmações (em ordem) são:
  1. A aceleração da partícula em cada instante é igual à aceleração média calculada em qualquer intervalo de tempo do movimento.
  2. O sinal da aceleração da partícula é certamente negativo se o módulo da velocidade diminui.
  3. A inclinação da reta tangente à curva em cada instante no gráfico de velocidade em função do tempo é constante.
  4. A aceleração tangencial é nula.
  5. Os sinais da velocidade e da aceleração serão os mesmos se o módulo da velocidade aumenta com o tempo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes (explicando passo a passo):
  • Velocidade instantânea (em movimento retilíneo) é a função \,v(t)\,.
  • Aceleração instantânea é a derivada da velocidade: a(t)=\frac{dv}{dt}.
Isto significa que a aceleração num instante é a inclinação (derivada) da curva v versus t.
  • Aceleração média num intervalo [t_1,t_2] é definida por \bar a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}.
Isso é a variação média da velocidade por unidade de tempo no intervalo.
  • Para aceleração constante, a função velocidade é linear: v(t)=v_0+a\,t,
onde v_0 é a velocidade inicial e a é a aceleração constante. Daí, \dfrac{dv}{dt}=a em todos os instantes.

Passo 3

Analisando a afirmação 1: “A aceleração da partícula em cada instante é igual à aceleração média calculada em qualquer intervalo de tempo do movimento.”
  • Usando a fórmula acima, se a é constante então \dfrac{dv}{dt}=a e, para quaisquer t_1<t_2, \bar a=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{(v_0+a t_2)-(v_0+a t_1)}{t_2-t_1}=\frac{a(t_2-t_1)}{t_2-t_1}=a.
  • Conclusão: quando a aceleração é constante, a aceleração instantânea vale exatamente a aceleração média em qualquer intervalo.
    Portanto a afirmação 1 é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação 2: “O sinal da aceleração da partícula é certamente negativo se o módulo da velocidade diminui.”
  • O que importa quando dizemos “o módulo da velocidade diminui” é que a rapidez (speed) |v| está decrescendo; isso significa que a componente da aceleração ao longo da direção do movimento (a aceleração tangencial) é oposta à velocidade: \mathbf{a}\cdot\mathbf{v}<0.
  • Em movimento retilíneo com velocidade assinada v, isso significa que a tem sinal oposto ao de v. Se v>0 e a rapidez diminui então a<0. Mas se v<0 e a rapidez diminui (ou seja, a partícula está se movendo para o lado negativo e está desacelerando), então a>0.
  • Logo, não se pode afirmar que a é “certamente negativo” em todos os casos — o sinal depende da orientação escolhida e do sinal de v.
    Portanto a afirmação 2 é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação 3: “A inclinação da reta tangente à curva em cada instante no gráfico de velocidade em função do tempo é constante.”
  • No gráfico v versus t, a inclinação da reta tangente num instante é \dfrac{dv}{dt}, que é a aceleração instantânea a(t).
  • Como a aceleração é dada como constante, \dfrac{dv}{dt}=a é o mesmo número para todo t. Assim a inclinação da tangente é a mesma em todos os instantes — ou seja, constante.
    Portanto a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação 4: “A aceleração tangencial é nula.”
  • Em movimento retilíneo, a aceleração total pode ser decomposta em aceleração tangencial a_t (paralela à velocidade, ligada à variação do módulo de v) e aceleração normal a_n (perpendicular à velocidade, ligada à curvatura da trajetória).
  • Para trajetória retilínea o raio de curvatura é infinito e a_n=0. Porém a aceleração tangencial vale a_t=\dfrac{dv}{dt}. Com aceleração constante não nula, a_t geralmente é diferente de zero (só seria nula se a=0, ou seja se o movimento fosse MRU).
  • Como no enunciado não foi dado que a=0 — apenas que é constante — não podemos afirmar que a_t=0. Em geral a_t\neq0.
    Portanto a afirmação 4 é falsa (salvo no caso trivial a=0, mas a frase afirmativa diz “é nula” de forma geral).

Passo 7

Analisando a afirmação 5: “Os sinais da velocidade e da aceleração serão os mesmo se o módulo da velocidade aumenta com o tempo.”
  • Se o módulo da velocidade aumenta, a rapidez |v| cresce. Isso significa que a componente da aceleração ao longo da direção do movimento está no mesmo sentido da velocidade, i.e. \mathbf{a}\cdot\mathbf{v}>0. Em termos escalares de movimento unidimensional, isso quer dizer que a e v têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos), porque a aceleração atua no mesmo sentido do vetor velocidade para aumentar seu módulo.
  • Exemplo rápido: se v>0 e a rapidez aumenta, então a>0. Se v<0 (movendo-se para o lado negativo) e a rapidez aumenta (fica mais negativo), então a<0. Em ambos os casos os sinais coincidem.
    Portanto a afirmação 5 é verdadeira.

Resposta

As afirmativas corretas são: 1, 3 e 5.

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