Uma partícula se deslocando ao longo de uma curva plana tem um vetor posição
, uma velocidade
, e uma aceleração a. Os vetores unitários nas direçöes
e
são
e
, respectivamente, e ambos
e
estäo variando com o tempo. Explique porque cada uma das seguintes afirmações está corretamente marcada como uma desigualdade.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada nesse exercício. A questão fala sobre o movimento de uma partícula em uma curva plana, onde temos alguns vetores importantes: posição (
), velocidade (
) e aceleração (
). Além disso, usamos vetores unitários nas direções radial (
) e angular (
). Nosso objetivo aqui é entender por que certas igualdades entre esses vetores e suas derivadas não são verdadeiras, ou seja, por que elas são desigualdades.
Para resolver isso, precisamos saber um pouco sobre movimento em coordenadas polares e como vetores se comportam nessas coordenadas quando as variáveis
e
mudam com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como expressamos o vetor posição
em coordenadas polares:
Aqui,
é a distância do ponto ao centro (origem) e
é o vetor unitário na direção radial.
Passo 3
Agora, para encontrar a velocidade
, vamos derivar
em relação ao tempo:
Sabemos que o vetor unitário radial
muda com o tempo, e sua derivada é relacionada ao vetor unitário angular:
Então, substituindo:
Isso mostra que a velocidade tem componentes tanto na direção radial quanto na angular.
Passo 4
Vamos agora para a aceleração
, que é a derivada da velocidade:
Derivando termo a termo:
Conhecendo que
e
, substituímos:
Simplificando:
Isso mostra que a aceleração também tem componentes nas direções radial e angular.
Passo 5
Agora, vamos analisar as afirmações dadas e entender por que cada uma delas resulta em desigualdade.
-
Aqui,
é o vetor velocidade , que é um vetor, enquanto geralmente denota a rapidez, que é um valor escalar. Como estamos comparando um vetor com um escalar, eles obviamente não são iguais. -
Similarmente,
é o vetor aceleração , e costuma representar a magnitude da aceleração, um escalar. Novamente, vetor e escalar não são iguais. -
Observamos que:Portanto,
tem uma componente angular além da componente radial . Assim, não é igual apenas a . -
é a derivada de em relação ao tempo, ou seja, a taxa de variação radial, enquanto é a rapidez total, que inclui tanto a componente radial quanto a angular. Portanto, não representa a rapidez total. -
Similarmente,
é a derivada segunda de em relação ao tempo, representando a aceleração radial, enquanto é a magnitude total da aceleração, que inclui outras componentes. Logo, não são iguais. -
Da expressão da aceleração:Vemos que
tem tanto uma componente radial quanto angular, então não é igual apenas a . -
é escalar, enquanto é vetor com componentes radiais e angulares. Portanto, não são iguais. -
Novamente,
é escalar, representando apenas a aceleração radial, enquanto é vetor com mais componentes. Não são iguais. -
Como já vimos,
. Então, não é igual apenas a .
Resposta
Todas as igualdades apresentadas são incorretas porque os termos comparados representam quantidades diferentes, seja por serem vetores versus escalares ou por possuírem componentes adicionais nas direções radial e angular. Assim, as desigualdades estão corretamente marcadas.