Uma partícula se deslocando ao longo de uma curva plana tem um vetor posição r, uma velocidade v, e uma aceleração a. Os vetores unitários nas direçöes r e theta são er e etheta, respectivamente, e ambos r e theta estäo variando com o tempo. Explique porque cada uma das seguintes afirmações está corretamente marcada como uma desigualdade.
dotr neq v ddotr neq a dotr neq dotr er
dotr neq v ddotr neq a ddotr neq ddotr er
dotr neq v ddotr neq a dotr neq r dottheta etheta

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada nesse exercício. A questão fala sobre o movimento de uma partícula em uma curva plana, onde temos alguns vetores importantes: posição ( r), velocidade ( v) e aceleração ( a). Além disso, usamos vetores unitários nas direções radial ( er) e angular ( etheta). Nosso objetivo aqui é entender por que certas igualdades entre esses vetores e suas derivadas não são verdadeiras, ou seja, por que elas são desigualdades.
Para resolver isso, precisamos saber um pouco sobre movimento em coordenadas polares e como vetores se comportam nessas coordenadas quando as variáveis r e theta mudam com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como expressamos o vetor posição r em coordenadas polares:
r = r,er
Aqui, r é a distância do ponto ao centro (origem) e er é o vetor unitário na direção radial.

Passo 3

Agora, para encontrar a velocidade v, vamos derivar r em relação ao tempo:
v = dotr = ddt(r,er) = dotr,er + r,doter
Sabemos que o vetor unitário radial er muda com o tempo, e sua derivada é relacionada ao vetor unitário angular:
doter = dottheta,etheta
Então, substituindo:
v = dotr,er + r,dottheta,etheta
Isso mostra que a velocidade tem componentes tanto na direção radial quanto na angular.

Passo 4

Vamos agora para a aceleração a, que é a derivada da velocidade:
a = dotv = ddt(dotr,er + r,dottheta,etheta)
Derivando termo a termo:
a = ddotr,er + dotr,doter + dotr,dottheta,etheta + r,ddottheta,etheta + r,dottheta,dotetheta
Conhecendo que doter = dottheta,etheta e dotetheta = -dottheta,er, substituímos:
a = ddotr,er + dotr,dottheta,etheta + dotr,dottheta,etheta + r,ddottheta,etheta - r,dottheta^2,er
Simplificando:
a = (ddotr - r,dottheta^2),er + (2,dotr,dottheta + r,ddottheta),etheta
Isso mostra que a aceleração também tem componentes nas direções radial e angular.

Passo 5

Agora, vamos analisar as afirmações dadas e entender por que cada uma delas resulta em desigualdade.
  1. dotr neq v
    Aqui, dotr é o vetor velocidade v, que é um vetor, enquanto v geralmente denota a rapidez, que é um valor escalar. Como estamos comparando um vetor com um escalar, eles obviamente não são iguais.
  2. ddotr neq a
    Similarmente, ddotr é o vetor aceleração a, e a costuma representar a magnitude da aceleração, um escalar. Novamente, vetor e escalar não são iguais.
  3. dotr neq dotr er
    Observamos que:
    dotr = dotr,er + r,dottheta,etheta
    Portanto, dotr tem uma componente angular r,dottheta,etheta além da componente radial dotr,er. Assim, dotr não é igual apenas a dotr,er.
  4. dotr neq v
    dotr é a derivada de r em relação ao tempo, ou seja, a taxa de variação radial, enquanto v é a rapidez total, que inclui tanto a componente radial quanto a angular. Portanto, dotr não representa a rapidez total.
  5. ddotr neq a
    Similarmente, ddotr é a derivada segunda de r em relação ao tempo, representando a aceleração radial, enquanto a é a magnitude total da aceleração, que inclui outras componentes. Logo, não são iguais.
  6. ddotr neq ddotr er
    Da expressão da aceleração:
    a = (ddotr - r,dottheta^2),er + (2,dotr,dottheta + r,ddottheta),etheta
    Vemos que ddotr tem tanto uma componente radial quanto angular, então não é igual apenas a ddotr,er.
  7. dotr neq v
    dotr é escalar, enquanto v é vetor com componentes radiais e angulares. Portanto, não são iguais.
  8. ddotr neq a
    Novamente, ddotr é escalar, representando apenas a aceleração radial, enquanto a é vetor com mais componentes. Não são iguais.
  9. dotr neq r dottheta etheta
    Como já vimos, dotr = dotr,er + r,dottheta,etheta. Então, dotr não é igual apenas a r,dottheta,etheta.

Resposta

Todas as igualdades apresentadas são incorretas porque os termos comparados representam quantidades diferentes, seja por serem vetores versus escalares ou por possuírem componentes adicionais nas direções radial e angular. Assim, as desigualdades estão corretamente marcadas.

Exercícios relacionados