A lagrangiana
descreve uma cadeia linear de
osciladores
de mesma massa
conectados por molas iguais com constante de força
. Os extremos da cadeia são fixos, isto é,
(i) Encontre as equações de movimento para
e mostre que elas admitem os modos normais de vibração
com as frcqüências características
(ii) Como todas as freqüências são distintas (convença-se disto!), os vetores
são mutuamente ortogonais. Mostre que
é normalizado pela escolha
, a mesma para todos os vetores. Sugestão: para provar que
, escreva
, use
para
real, e note que
é a soma de uma progressão geométrica. (iii) Se no instante
só o primeiro oscilador está deslocado de sua posição de equilíbrio e todos os osciladores estão em repouso, determine
. Sugestão: explore a ortogonalidade dos vetores
. (iv) Um bônus puramente matemático deste problema é a curiosa identidade trigonométrica
Prove que esta identidade decorre imediatamente das relações que caracterizam os vetores
, com
, como um conjunto ortonormal.
Passo 1
O enunciado dá a lagrangiana
com as condições de contorno fixas
e pede quatro coisas:
- (i) Encontrar as equações de movimento para
e mostrar que elas admitem os modos normais
com as frequências
- (ii) Mostrar que, como todas as frequências são distintas, os vetores
(onde ) são mutuamente ortogonais, e escolher comum para normalizá‑los conforme . - (iii) Para as condições iniciais em
em que somente o oscilador está deslocado (digamos ) e todas as velocidades são nulas, determinar . - (iv) Mostrar a identidade trigonométrica
As informações relevantes disponíveis: lagrangiana (acima), massas iguais
, constantes elásticas
, extremos fixos, e as formas propostas dos modos e das frequências. Não há valor numérico para
; manteremos
como amplitude inicial do primeiro oscilador.
Passo 2
Derivando as equações de movimento (Euler–Lagrange) passo a passo.
A regra de Euler–Lagrange para cada coordenada generalizada
é
Calculemos cada termo:
- Energia cinética:
. Logo
- Energia potencial (parte relevante para
):
Note que
aparece em dois termos da soma: no termo com índice
(que contém
) e no termo com índice
(que contém
). Portanto
Como
, temos
.
Substituindo na Euler–Lagrange:
Esta é a equação de movimento discreta para cada massa interior. Em forma mais explícita:
Passo 3
Verificação das formas de modos normais e obtenção das frequências
.
Proponha um modo separável espaço-tempo da forma
onde
,
é uma constante de amplitude espacial, e
é fase. Para mostrar que é modo próprio, basta inserir essa forma na equação de movimento.
Primeiro, a derivada temporal segunda:
Agora calcule a combinação espacial que aparece na equação:
Use a identidade trigonométrica
Então
Usando
obtemos
Agora substitua
e a expressão espacial na equação de movimento
:
Como
não é a função nula (modo não trivial), podemos dividir por
e obter
Portanto
que é exatamente a expressão pedida. Observação: para
os valores
são todos positivos e distintos (porque
é estritamente crescente em
e aqui os argumentos
são distintos), o que justifica a afirmação no enunciado.
Passo 4
Ortogonalidade dos vetores
(componentes espaciais) e argumento via problema de autovalores.
Escrevemos as equações de movimento matricialmente como
onde
(matriz diagonal) e
é a matriz tridiagonal com elementos
. Procurando soluções harmônicas
dá o problema de autovalores
Como
é simétrica real e
é proporcional à identidade, auto‑vetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais no produto interno ponderado por
; explicitamente, para dois modos
e
com
temos
logo
Assim os vetores
são mutuamente ortogonais no produto usual (multiplicado por
se quisermos o produto físico
).
Passo 5
Normalização comum
. cálculo detalhado do somatório sugerido.
Queremos escolher
tal que os vetores normalizados satisfaçam
Como
, temos para
Logo precisamos calcular
. Use a identidade sugerida:
Assim
Calcule o somatório de cossenos como parte real de uma soma geométrica:
Mas
pois é soma de todas as raízes
-ésimas de
elevadas à potência
(e
inteiro entre
e
). Portanto
Tomando parte real:
Substituindo em
:
Logo
(independente de
, para
).
Voltando à normalização:
Portanto a mesma constante normaliza todos os vetores, como solicitado.
Passo 6
Resolução do item (iii): evoluçã o temporal para condição inicial com só o primeiro deslocado.
Escrevemos a solução geral como combinação linear dos modos normalizados:
com
e
. Para cada modo a coordenada modal
satisfaz
, logo
As condições iniciais são:
(apenas o primeiro deslocado) e
para todo
. Para achar
e
usamos a ortogonalidade:
Com
segue
. Com
obtemos
Portanto
Substituindo em
e usando
:
Agrupando constantes
e substituindo
obtemos a forma simples
onde
. Esta é a solução explícita para as condições iniciais pedidas.
Passo 7
Demonstração da identidade trigonométrica (item iv) a partir da ortonormalidade.
A ortonormalidade (com
) implica
Como
, temos
que é exatamente a identidade pedida.
Resposta
(i)
(ii) Os vetores
são ortogonais; a normalização comum é
(iii) Para
e
:
(iv)