A lagrangiana
L=\frac{m}{2} \sum_{l=1}^{N-1} \dot{\eta}_{l}^{2}-\frac{k}{2} \sum_{l=0}^{N-1}\left(\eta_{l+1}-\eta_{l}\right)^{2}
descreve uma cadeia linear de N-1 osciladores (N \geq 2) de mesma massa m conectados por molas iguais com constante de força k. Os extremos da cadeia são fixos, isto é,
\eta_{0}=0 \quad, \quad \eta_{N}=0
(i) Encontre as equações de movimento para \eta_{1}, \cdots, \eta_{N-1} e mostre que elas admitem os modos normais de vibração
\eta_{l}^{(s)}=C^{(s)} \operatorname{sen} \frac{s l \pi}{N} \cos \left(\omega_{s} t+\phi_{s}\right) \equiv \varrho_{l}^{(s)} \cos \left(\omega_{s} t+\phi_{s}\right) \quad, \quad s, l=1, \cdots, N-1
com as frcqüências características
\omega_{s}=2 \sqrt{\frac{k}{m}} \operatorname{sen} \frac{s \pi}{2 N} .
(ii) Como todas as freqüências são distintas (convença-se disto!), os vetores \left\{\varrho^{(s)}\right\} são mutuamente ortogonais. Mostre que \varrho^{(s)} é normalizado pela escolha C^{(s)}=(2 / N m)^{1 / 2}, a mesma para todos os vetores. Sugestão: para provar que \sum_{l=1}^{N-1} \operatorname{sen}^{2}(l s \pi / N)=N / 2, escreva \operatorname{sen}^{2} \theta=(1-\cos 2 \theta) / 2, use \cos \theta=\operatorname{Re} e^{i \theta} para \theta real, e note que \sum_{l=1}^{N-1} e^{i l x} é a soma de uma progressão geométrica. (iii) Se no instante t=0 só o primeiro oscilador está deslocado de sua posição de equilíbrio e todos os osciladores estão em repouso, determine \eta_{l}(t). Sugestão: explore a ortogonalidade dos vetores \left\{\varrho^{(s)}\right\}. (iv) Um bônus puramente matemático deste problema é a curiosa identidade trigonométrica
\sum_{j=1}^{N-1} \operatorname{sen}\left(j \frac{r \pi}{N}\right) \operatorname{sen}\left(j \frac{s \pi}{N}\right)=\frac{N}{2} \delta_{r s}, \quad r, s=1, \ldots, N-1, N \geq 2
Prove que esta identidade decorre imediatamente das relações que caracterizam os vetores \left\{\varrho^{(s)}\right\}, com C^{(s)}=\sqrt{2 / N m}, como um conjunto ortonormal.

Passo 1

O enunciado dá a lagrangiana
L=\frac{m}{2}\sum_{l=1}^{N-1}\dot{\eta}_l^{2}-\frac{k}{2}\sum_{l=0}^{N-1}\left(\eta_{l+1}-\eta_{l}\right)^{2},
com as condições de contorno fixas
\eta_0=0,\qquad \eta_N=0,
e pede quatro coisas:
  1. (i) Encontrar as equações de movimento para \eta_1,\ldots,\eta_{N-1} e mostrar que elas admitem os modos normais
\eta_l^{(s)}=C^{(s)}\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)\cos\!\left(\omega_s t+\phi_s\right)
com as frequências
\omega_s=2\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\!\left(\frac{s\pi}{2N}\right),\qquad s=1,\ldots,N-1.
  1. (ii) Mostrar que, como todas as frequências são distintas, os vetores \{\varrho^{(s)}\} (onde \varrho^{(s)}_l=C^{(s)}\sin(s l\pi/N)) são mutuamente ortogonais, e escolher C^{(s)} comum para normalizá‑los conforme C^{(s)}=\sqrt{2/(N m)}.
  2. (iii) Para as condições iniciais em t=0 em que somente o oscilador l=1 está deslocado (digamos \eta_1(0)=A) e todas as velocidades são nulas, determinar \eta_l(t).
  3. (iv) Mostrar a identidade trigonométrica
\sum_{j=1}^{N-1}\sin\!\left(j\frac{r\pi}{N}\right)\sin\!\left(j\frac{s\pi}{N}\right)=\frac{N}{2}\delta_{rs},\qquad r,s=1,\ldots,N-1.
As informações relevantes disponíveis: lagrangiana (acima), massas iguais m, constantes elásticas k, extremos fixos, e as formas propostas dos modos e das frequências. Não há valor numérico para A; manteremos A como amplitude inicial do primeiro oscilador.

Passo 2

Derivando as equações de movimento (Euler–Lagrange) passo a passo.
A regra de Euler–Lagrange para cada coordenada generalizada \eta_l é
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\eta}_l}\right)-\frac{\partial L}{\partial\eta_l}=0.
Calculemos cada termo:
  1. Energia cinética: \partial L/\partial\dot{\eta}_l = m\dot{\eta}_l. Logo
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\eta}_l}\right)=m\ddot{\eta}_l.
  1. Energia potencial (parte relevante para \eta_l):
V=\frac{k}{2}\sum_{j=0}^{N-1}(\eta_{j+1}-\eta_j)^2.
Note que \eta_l aparece em dois termos da soma: no termo com índice j=l (que contém (\eta_{l+1}-\eta_l)^2) e no termo com índice j=l-1 (que contém (\eta_l-\eta_{l-1})^2). Portanto
\frac{\partial V}{\partial\eta_l}=k\big[(\eta_l-\eta_{l-1})-(\eta_{l+1}-\eta_l)\big] = k(2\eta_l-\eta_{l-1}-\eta_{l+1}).
Como L=T-V, temos -\partial L/\partial\eta_l=\partial V/\partial\eta_l.
Substituindo na Euler–Lagrange:
m\ddot{\eta}_l + k(2\eta_l-\eta_{l-1}-\eta_{l+1})=0,\qquad l=1,\ldots,N-1.
Esta é a equação de movimento discreta para cada massa interior. Em forma mais explícita:
m\ddot{\eta}_l=-k\big(2\eta_l-\eta_{l-1}-\eta_{l+1}\big).

Passo 3

Verificação das formas de modos normais e obtenção das frequências \omega_s.
Proponha um modo separável espaço-tempo da forma
\eta_l^{(s)}(t)=C^{(s)}\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)\cos\!\left(\omega_s t+\phi_s\right),
onde s\in\{1,\ldots,N-1\}, C^{(s)} é uma constante de amplitude espacial, e \phi_s é fase. Para mostrar que é modo próprio, basta inserir essa forma na equação de movimento.
Primeiro, a derivada temporal segunda:
\ddot{\eta}_l^{(s)}(t)=-\omega_s^2\eta_l^{(s)}(t).
Agora calcule a combinação espacial que aparece na equação:
2\eta_l^{(s)}-\eta_{l-1}^{(s)}-\eta_{l+1}^{(s)} = C^{(s)}\Big[2\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)-\sin\!\left(\frac{s(l-1)\pi}{N}\right)-\sin\!\left(\frac{s(l+1)\pi}{N}\right)\Big]\cos(\cdots).
Use a identidade trigonométrica
\sin\!\left(\frac{s(l\!+\!1)\pi}{N}\right)+\sin\!\left(\frac{s(l\!-\!1)\pi}{N}\right) =2\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)\cos\!\left(\frac{s\pi}{N}\right).
Então
2\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)-\sin\!\left(\frac{s(l-1)\pi}{N}\right)-\sin\!\left(\frac{s(l+1)\pi}{N}\right) =2\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)\big(1-\cos\!\left(\tfrac{s\pi}{N}\right)\big).
Usando 1-\cos\theta=2\sin^{2}(\theta/2) obtemos
2\eta_l^{(s)}-\eta_{l-1}^{(s)}-\eta_{l+1}^{(s)} =4 C^{(s)}\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)\sin^{2}\!\left(\frac{s\pi}{2N}\right)\cos(\cdots).
Agora substitua \ddot{\eta}_l^{(s)} e a expressão espacial na equação de movimento m\ddot{\eta}_l + k(2\eta_l-\eta_{l-1}-\eta_{l+1})=0:
m\big(-\omega_s^2\big)\eta_l^{(s)} + k\cdot 4\sin^{2}\!\left(\frac{s\pi}{2N}\right)\eta_l^{(s)} =0.
Como \eta_l^{(s)} não é a função nula (modo não trivial), podemos dividir por \eta_l^{(s)} e obter
m\omega_s^2=4k\sin^{2}\!\left(\frac{s\pi}{2N}\right).
Portanto
\omega_s=2\sqrt{\frac{k}{m}}\sin\!\left(\frac{s\pi}{2N}\right),
que é exatamente a expressão pedida. Observação: para s=1,\ldots,N-1 os valores \omega_s são todos positivos e distintos (porque x\mapsto\sin x é estritamente crescente em 0<x<\pi/2 e aqui os argumentos s\pi/(2N) são distintos), o que justifica a afirmação no enunciado.

Passo 4

Ortogonalidade dos vetores \varrho^{(s)} (componentes espaciais) e argumento via problema de autovalores.
Escrevemos as equações de movimento matricialmente como
M\ddot{\boldsymbol{\eta}} + K\boldsymbol{\eta}=0,
onde M=mI (matriz diagonal) e K é a matriz tridiagonal com elementos K_{ll}=2k,\\ K_{l,l\pm1}=-k. Procurando soluções harmônicas \boldsymbol{\eta}(t)=\boldsymbol{\varrho}\cos(\omega t+\varphi) dá o problema de autovalores
K\boldsymbol{\varrho}=m\omega^2\boldsymbol{\varrho}.
Como K é simétrica real e M é proporcional à identidade, auto‑vetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais no produto interno ponderado por M; explicitamente, para dois modos r e s com \omega_r\neq\omega_s temos
m(\omega_s^2-\omega_r^2)\sum_{l=1}^{N-1}\varrho_l^{(s)}\varrho_l^{(r)}= \boldsymbol{\varrho}^{(r)T}(K\boldsymbol{\varrho}^{(s)})-\boldsymbol{\varrho}^{(s)T}(K\boldsymbol{\varrho}^{(r)})=0,
logo
\sum_{l=1}^{N-1}\varrho_l^{(s)}\varrho_l^{(r)}=0\quad\text{se }r\neq s.
Assim os vetores \{\varrho^{(s)}\} são mutuamente ortogonais no produto usual (multiplicado por m se quisermos o produto físico m\sum \varrho_l^{(r)}\varrho_l^{(s)}).

Passo 5

Normalização comum C^{(s)}=\sqrt{2/(N m)}. cálculo detalhado do somatório sugerido.
Queremos escolher C^{(s)} tal que os vetores normalizados satisfaçam
\sum_{l=1}^{N-1} m\,\varrho_l^{(s)}\varrho_l^{(r)}=\delta_{sr}.
Como \varrho_l^{(s)}=C^{(s)}\sin\!\left(\tfrac{s l\pi}{N}\right), temos para r=s
m\big(C^{(s)}\big)^{2}\sum_{l=1}^{N-1}\sin^{2}\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)=1.
Logo precisamos calcular S:=\sum_{l=1}^{N-1}\sin^{2}\!\left(\tfrac{s l\pi}{N}\right). Use a identidade sugerida:
\sin^{2}\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Assim
S=\sum_{l=1}^{N-1}\frac{1-\cos\!\left(\frac{2 s l\pi}{N}\right)}{2}=\frac{N-1}{2}-\frac{1}{2}\sum_{l=1}^{N-1}\cos\!\left(\frac{2 s l\pi}{N}\right).
Calcule o somatório de cossenos como parte real de uma soma geométrica:
\sum_{l=1}^{N-1}e^{i\frac{2 s l\pi}{N}}=\sum_{l=0}^{N-1}e^{i\frac{2 s l\pi}{N}}-1.
Mas \sum_{l=0}^{N-1}e^{i\frac{2 s l\pi}{N}}=0 pois é soma de todas as raízes N-ésimas de 1 elevadas à potência 2s (e s inteiro entre 1 e N-1). Portanto
\sum_{l=1}^{N-1}e^{i\frac{2 s l\pi}{N}}=-1.
Tomando parte real:
\sum_{l=1}^{N-1}\cos\!\left(\frac{2 s l\pi}{N}\right)=\operatorname{Re}(-1)=-1.
Substituindo em S:
S=\frac{N-1}{2}-\frac{1}{2}(-1)=\frac{N}{2}.
Logo \displaystyle\sum_{l=1}^{N-1}\sin^{2}\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)=\frac{N}{2} (independente de s, para s=1,\ldots,N-1).
Voltando à normalização:
m\big(C^{(s)}\big)^{2}\frac{N}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad C^{(s)}=\sqrt{\frac{2}{N m}}.
Portanto a mesma constante normaliza todos os vetores, como solicitado.

Passo 6

Resolução do item (iii): evoluçã o temporal para condição inicial com só o primeiro deslocado.
Escrevemos a solução geral como combinação linear dos modos normalizados:
\eta_l(t)=\sum_{s=1}^{N-1}Q_s(t)\,\varrho_l^{(s)},
com \varrho_l^{(s)}=C\sin\!\left(\tfrac{s l\pi}{N}\right) e C=\sqrt{2/(N m)}. Para cada modo a coordenada modal Q_s(t) satisfaz \ddot{Q}_s + \omega_s^2 Q_s=0, logo
Q_s(t)=Q_s(0)\cos(\omega_s t)+\dot{Q}_s(0)\frac{\sin(\omega_s t)}{\omega_s}.
As condições iniciais são: \eta_l(0)=A\delta_{l1} (apenas o primeiro deslocado) e \dot{\eta}_l(0)=0 para todo l. Para achar Q_s(0) e \dot{Q}_s(0) usamos a ortogonalidade:
Q_s(0)=\sum_{l=1}^{N-1} m\,\varrho_l^{(s)}\eta_l(0),\qquad \dot{Q}_s(0)=\sum_{l=1}^{N-1} m\,\varrho_l^{(s)}\dot{\eta}_l(0).
Com \dot{\eta}_l(0)=0 segue \dot{Q}_s(0)=0. Com \eta_l(0)=A\delta_{l1} obtemos
Q_s(0)=m\,\varrho_1^{(s)}A = m C \sin\!\left(\frac{s\pi}{N}\right) A.
Portanto
Q_s(t)=m C \sin\!\left(\frac{s\pi}{N}\right) A\cos(\omega_s t).
Substituindo em \eta_l(t)=\sum_s Q_s(t)\varrho_l^{(s)} e usando \varrho_l^{(s)}=C\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right):
\eta_l(t)=\sum_{s=1}^{N-1}\big[m C \sin\!\left(\tfrac{s\pi}{N}\right) A\cos(\omega_s t)\big]\big[C\sin\!\left(\tfrac{s l\pi}{N}\right)\big].
Agrupando constantes mC^2 e substituindo mC^2=m\cdot\frac{2}{N m}=\frac{2}{N} obtemos a forma simples
\boxed{\displaystyle \eta_l(t)=A\frac{2}{N}\sum_{s=1}^{N-1}\sin\!\left(\frac{s\pi}{N}\right)\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)\cos(\omega_s t) }
onde \omega_s=2\sqrt{k/m}\sin\!\left(\tfrac{s\pi}{2N}\right). Esta é a solução explícita para as condições iniciais pedidas.

Passo 7

Demonstração da identidade trigonométrica (item iv) a partir da ortonormalidade.
A ortonormalidade (com C=\sqrt{2/(N m)}) implica
\delta_{rs}=\sum_{l=1}^{N-1} m\,\varrho_l^{(r)}\varrho_l^{(s)} = m C^{2}\sum_{l=1}^{N-1}\sin\!\left(\frac{r l\pi}{N}\right)\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right).
Como mC^{2}=m\cdot\frac{2}{N m}=\frac{2}{N}, temos
\sum_{l=1}^{N-1}\sin\!\left(\frac{r l\pi}{N}\right)\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right) =\frac{N}{2}\delta_{rs},
que é exatamente a identidade pedida.

Resposta

(i) m\ddot{\eta}_l+k(2\eta_l-\eta_{l-1}-\eta_{l+1})=0,\quad l=1,\ldots,N-1. \displaystyle\eta_l^{(s)}=C^{(s)}\sin\!\left(\tfrac{s l\pi}{N}\right)\cos\!\left(\omega_s t+\phi_s\right),\quad \omega_s=2\sqrt{\tfrac{k}{m}}\sin\!\left(\tfrac{s\pi}{2N}\right).
(ii) Os vetores \varrho^{(s)} são ortogonais; a normalização comum é \displaystyle C^{(s)}=\sqrt{\frac{2}{N m}}.
(iii) Para \eta_l(0)=A\delta_{l1} e \dot{\eta}_l(0)=0:
\displaystyle \eta_l(t)=A\frac{2}{N}\sum_{s=1}^{N-1}\sin\!\left(\frac{s\pi}{N}\right)\sin\!\left(\frac{s l\pi}{N}\right)\cos\!\left(2\sqrt{\tfrac{k}{m}}\sin\!\left(\tfrac{s\pi}{2N}\right)\,t\right).
(iv) \displaystyle \sum_{j=1}^{N-1}\sin\!\left(j\frac{r\pi}{N}\right)\sin\!\left(j\frac{s\pi}{N}\right)=\frac{N}{2}\delta_{rs}.

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