Uma partícula de massa
move-se no semi-eixo
com energia potencial
onde todas as constantes são positivas. Determine para que valorcs das constantes existem posições de equilíbrio e encontre a frequiência das pequenas oscilações em torno das posições de equilíbrio estável.
Passo 1
O problema dá a energia potencial
no semi-eixo
, com
,
,
e
. As perguntas são:
- Para quais valores das constantes existem posições de equilíbrio no intervalo
? - Qual é a frequência das pequenas oscilações em torno de uma posição de equilíbrio estável?
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função
está definida para
; todas as constantes citadas são positivas; queremos equilibrar forças (ou derivada do potencial) e estudar pequenas oscilações (aproximação quadrática do potencial).
Passo 2
Condição matemática de equilíbrio: uma posição de equilíbrio
(interno ao domínio
) satisfaz
Vamos calcular
passo a passo. Primeiro derivamos
em relação a
. Como
, a derivada é a soma das derivadas dos termos:
Derivando cada termo temos
e
. Portanto
Para um equilíbrio interno queremos
, isto é
Rearranjando:
e assim
Passo 3
Agora imponho a condição do domínio
. Para
temos
. Logo a relação
só pode ser satisfeita se
ou seja se
Se
a igualdade daria
que ocorre em
, mas
não pertence ao domínio
pedido (é o limite), então não aceitamos
como uma solução interna. Se
não há solução em
. Portanto existe posição de equilíbrio interna se, e somente se,
.
Quando
podemos resolver para
explicitamente: tomando logaritmo na expressão
obtemos
ou
que é positivo porque
.
Passo 4
Agora vamos analisar a estabilidade da posição de equilíbrio encontrada. A condição de estabilidade (mínimo local do potencial) é que a segunda derivada do potencial em
seja positiva:
Calculemos
. Partindo de
derivamos novamente:
Avaliada em
, e usando
, obtemos
Como
,
e
, segue
. Portanto a posição encontrada é um mínimo local do potencial e é estável.
Passo 5
Frequência das pequenas oscilações: para pequenas oscilações em torno de
usamos a aproximação quadrática (expansão de Taylor do potencial):
para deslocamentos pequenos
. A equação de movimento é
, que é a equação de oscilador harmônico simples com
Substituindo
obtemos a pulsação angular
Se preferir a frequência em Hz (ciclos por segundo),
Resposta
Existem posições de equilíbrio internas em
se, e somente se,
. Nesse caso
A pulsação angular das pequenas oscilações em torno do equilíbrio estável é
e a frequência em ciclos por segundo é