Uma partícula de massa m move-se no semi-eixo x>0 com energia potencial
V(x)=V_{0}\left(e^{-k x}+C x\right)
onde todas as constantes são positivas. Determine para que valorcs das constantes existem posições de equilíbrio e encontre a frequiência das pequenas oscilações em torno das posições de equilíbrio estável.

Passo 1

O problema dá a energia potencial
V(x)=V_{0}\bigl(e^{-k x}+C x\bigr)
no semi-eixo x>0, com m>0, V_{0}>0, k>0 e C>0. As perguntas são:
  1. Para quais valores das constantes existem posições de equilíbrio no intervalo x>0?
  2. Qual é a frequência das pequenas oscilações em torno de uma posição de equilíbrio estável?
Informações relevantes extraídas do enunciado: a função V(x) está definida para x>0; todas as constantes citadas são positivas; queremos equilibrar forças (ou derivada do potencial) e estudar pequenas oscilações (aproximação quadrática do potencial).

Passo 2

Condição matemática de equilíbrio: uma posição de equilíbrio x_{\text{eq}} (interno ao domínio x>0) satisfaz
V'(x_{\text{eq}})=0.
Vamos calcular V'(x) passo a passo. Primeiro derivamos V(x) em relação a x. Como V(x)=V_{0}e^{-k x}+V_{0}C x, a derivada é a soma das derivadas dos termos:
V'(x)=V_{0}\left(\frac{d}{dx}e^{-k x}+\frac{d}{dx}(C x)\right).
Derivando cada termo temos \frac{d}{dx}e^{-k x}=-k e^{-k x} e \frac{d}{dx}(C x)=C. Portanto
V'(x)=V_{0}\bigl(-k e^{-k x}+C\bigr).
Para um equilíbrio interno queremos V'(x)=0, isto é
-k e^{-k x}+C=0.
Rearranjando:
k e^{-k x}=C
e assim
e^{-k x}=\frac{C}{k}.

Passo 3

Agora imponho a condição do domínio x>0. Para x>0 temos e^{-k x}\in(0,1). Logo a relação e^{-k x}=\dfrac{C}{k} só pode ser satisfeita se
0<\frac{C}{k}<1,
ou seja se
C<k.
Se C=k a igualdade daria e^{-k x}=1 que ocorre em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio x>0 pedido (é o limite), então não aceitamos C=k como uma solução interna. Se C>k não há solução em x>0. Portanto existe posição de equilíbrio interna se, e somente se, \displaystyle C<k.
Quando C<k podemos resolver para x_{\text{eq}} explicitamente: tomando logaritmo na expressão e^{-k x}=\dfrac{C}{k} obtemos
- k x_{\text{eq}}=\ln\!\left(\frac{C}{k}\right)
ou
x_{\text{eq}}=-\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{C}{k}\right)=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{k}{C}\right),
que é positivo porque \dfrac{k}{C}>1.

Passo 4

Agora vamos analisar a estabilidade da posição de equilíbrio encontrada. A condição de estabilidade (mínimo local do potencial) é que a segunda derivada do potencial em x_{\text{eq}} seja positiva:
V''(x_{\text{eq}})>0.
Calculemos V''(x). Partindo de V'(x)=V_{0}\bigl(-k e^{-k x}+C\bigr) derivamos novamente:
V''(x)=V_{0}\bigl(k^{2} e^{-k x}+0\bigr)=V_{0}k^{2} e^{-k x}.
Avaliada em x_{\text{eq}}, e usando e^{-k x_{\text{eq}}}=\dfrac{C}{k}, obtemos
V''(x_{\text{eq}})=V_{0}k^{2}\cdot\frac{C}{k}=V_{0}kC.
Como V_{0}>0, k>0 e C>0, segue V''(x_{\text{eq}})=V_{0}kC>0. Portanto a posição encontrada é um mínimo local do potencial e é estável.

Passo 5

Frequência das pequenas oscilações: para pequenas oscilações em torno de x_{\text{eq}} usamos a aproximação quadrática (expansão de Taylor do potencial):
V(x)\approx V(x_{\text{eq}})+\tfrac{1}{2}V''(x_{\text{eq}})(x-x_{\text{eq}})^{2}
para deslocamentos pequenos y=x-x_{\text{eq}}. A equação de movimento é m\ddot{y}=-V'(x)\approx -V''(x_{\text{eq}})y, que é a equação de oscilador harmônico simples com
\omega^{2}=\frac{V''(x_{\text{eq}})}{m}.
Substituindo V''(x_{\text{eq}})=V_{0}kC obtemos a pulsação angular
\omega=\sqrt{\frac{V_{0}kC}{m}}.
Se preferir a frequência em Hz (ciclos por segundo),
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{V_{0}kC}{m}}.

Resposta

Existem posições de equilíbrio internas em x>0 se, e somente se, C<k. Nesse caso
x_{\text{eq}}=\frac{1}{k}\ln\!\left(\frac{k}{C}\right).
A pulsação angular das pequenas oscilações em torno do equilíbrio estável é
\omega=\sqrt{\frac{V_{0}kC}{m}},
e a frequência em ciclos por segundo é
f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{V_{0}kC}{m}}.

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