• Uma partícula elementar de massa M, inicialmente em repouso, absorve totalmente um fóton, o que faz a massa da partícula aumentar para 1,01 \mathrm{M}.
  • (a) Qual era a energia do fóton que foi absorvido? (b) Por que essa energia era maior que 0,01 M c^{2} ?

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa inicial M em repouso que absorve totalmente um fóton e passa a ter massa de repouso m'=1{,}01\,M. O conteúdo é relatividade restrita, usando conservação de energia e momento para um processo de absorção de fóton.

Passo 2

Denotemos por E_\gamma a energia do fóton absorvido e por p_\gamma seu momento. Em relatividade temos
p_\gamma = \frac{E_\gamma}{c}\,,
e após a absorção a partícula resultante terá momento total p_f = p_\gamma e energia total
E_f = \sqrt{(p_f\,c)^2 + (m'\,c^2)^2} = \sqrt{E_\gamma^2 + (1{,}01\,M\,c^2)^2}\,.

Passo 3

Aplicamos conservação de energia e de momento ao sistema fóton+partícula:
\text{(i) momento:}\quad p_f = p_\gamma \quad\Longrightarrow\quad p_f = \frac{E_\gamma}{c},
\text{(ii) energia:}\quad M\,c^2 + E_\gamma = E_f \quad\Longrightarrow\quad M\,c^2 + E_\gamma = \sqrt{E_\gamma^2 + (1{,}01\,M\,c^2)^2}.

Passo 4

Para encontrar E_\gamma elevamos a equação de energia ao quadrado:
\bigl(M\,c^2 + E_\gamma\bigr)^2 = E_\gamma^2 + (1{,}01\,M\,c^2)^2.
Isso dá
M^2 c^4 + 2\,M\,c^2\,E_\gamma + E_\gamma^2 = E_\gamma^2 + (1{,}01)^2 M^2 c^4
e, cancelando E_\gamma^2,
2\,M\,c^2\,E_\gamma = \bigl((1{,}01)^2 - 1\bigr) M^2 c^4 = 0{,}0201\,M^2c^4.

Passo 5

Isolando E_\gamma,
E_\gamma = \frac{0{,}0201\,M^2c^4}{2\,M\,c^2} = 0{,}01005\,M\,c^2.

Passo 6

A razão de E_\gamma ser maior que 0{,}01\,M\,c^2 é que parte da energia do fóton não vai apenas para o aumento de massa de repouso ( 0{,}01\,M\,c^2), mas também para fornecer energia cinética à partícula resultante, de modo a conservar o momento.

Resposta

(a) E_\gamma = 0{,}01005\,M\,c^2.
(b) Porque além de gerar o incremento de massa de repouso \Delta m\,c^2=0{,}01\,M\,c^2, o fóton também precisa fornecer energia cinética para que a partícula resultante carregue o momento p_\gamma.

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