Uma partícula eletricamente neutra está em repouso em uma região com campo magnético uniforme \boldsymbol{B}. Em \mathrm{t}=0, a partícula decai se transformando em duas partículas de massa m. Uma das partículas tem carga positiva +q e se move com velocidade \boldsymbol{v} (ortogonal a \boldsymbol{B} ) no instante \mathrm{t}=0.
(a) Qual é a carga da outra partícula e qual será sua velocidade inicial?
(b) Após quanto tempo as duas partículas colidirão?

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula neutra que, em repouso, decai em duas partículas de massa m. Uma delas tem carga +q e, no instante t=0, sai com velocidade \boldsymbol{v} perpendicular ao campo magnético uniforme \boldsymbol{B}. Vamos usar conservação de carga, conservação de momento linear e a dinâmica de cargas em campo magnético, que produz movimento circular com frequência ciclotrônica \omega = qB/m.

Passo 2

Pela conservação de carga, se uma partícula tem carga +q, a outra deve ter carga
q_2 = -q.
Pela conservação de momento linear, o momento total inicial é zero, logo
m\boldsymbol{v}_1 + m\boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{0} \quad\Longrightarrow\quad \boldsymbol{v}_2 = -\boldsymbol{v}_1 = -\boldsymbol{v}.

Passo 3

Cada partícula sofre força magnética \boldsymbol{F}=q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}, que dá origem a movimento circular de raio
R = \frac{m v}{|q|B}
e frequência angular (ciclotrônica)
\omega = \frac{|q|B}{m}.
Como ambas têm massa m e velocidade v de módulo igual, seus raios e frequências têm a mesma magnitude. A partícula positiva gira num sentido, e a negativa no sentido oposto.

Passo 4

Em t=0 ambas ocupam o mesmo ponto. No decorrer do tempo, seus ângulos em relação ao ponto inicial são
\theta_1 = \omega t, \quad \theta_2 = -\omega t.
Elas colidem quando ocupam novamente o mesmo ponto, isto é, quando
\theta_1 - \theta_2 = 2\pi k \quad\Longrightarrow\quad 2\omega t = 2\pi k.
Para o primeiro encontro não trivial, k=1, temos
t = \frac{\pi}{\omega} = \frac{\pi m}{|q|B}.

Resposta

(a) A outra partícula tem carga -q e velocidade inicial -\boldsymbol{v}.
(b) As duas partículas colidirão pela primeira vez em
t = \frac{\pi m}{qB}.

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