A componente x da velocidade em um campo de escoamento permanente é incompressível no plano
é
, onde
, sendo
e
medidos em metros. Determine a mais simples componente
da velocidade para esse campo de escoamento. Sugestão: Considere a continuidade incompressível,
, sendo
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei tudo do texto que você mandou):
- A componente
da velocidade é
com
. As coordenadas
e
estão em metros.
- O escoamento é permanente e incompressível no plano
. - A sugestão do enunciado indica usar a equação da continuidade:
onde
.
O que o problema pede:
- Determinar a componente
da velocidade mais simples que torne o campo de velocidade incompressível (ou seja, que satisfaça a continuidade dada a informação acima).
Passo 2
Entendendo a equação da continuidade no caso dado (explicação didática e sem pular passos).
- Para um escoamento incompressível a densidade
é constante no espaço e no tempo. Portanto e a equação da continuidade reduz-se a
- Em coordenadas cartesianas no plano
, a divergência do vetor velocidade é a soma das derivadas parciais das componentes:
- Assim, a condição de incompressibilidade (e escoamento permanente) nos dá a equação diferencial simples
Isto significa: se soubermos
, podemos integrar em
para achar
(até uma função que dependa só de
).
Passo 3
Calcular passo a passo
. Vou derivar cuidadosamente.
Temos
Usando a regra do produto/quotient rule, a derivada em
é
Agora simplifico termo a termo:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Passo 4
Usar a equação de continuidade
.
Substituindo a derivada que encontramos:
Passo 5
Integrar
em relação a
para obter
. Vou mostrar um truque de integração que facilita tudo.
Queremos calcular
onde
é a “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
qualquer função que dependa só de
some como constante).
Agora note a identidade útil (verificação por derivação):
Portanto a integral é direta:
Multiplicando por
e incluindo a
já existente:
Passo 6
Interpretação da solução geral e escolha da “mais simples” componente
.
- A solução geral obtida é
onde
é qualquer função arbitrária de
. Essa liberdade aparece porque a derivada em
de
é zero, então não aparece na equação
.
- O enunciado pede “a mais simples componente
da velocidade”. Sem condições de contorno adicionais, a escolha mais simples é tomar . - Assim a escolha mais simples é
Passo 7
Substituir o valor numérico de
e verificar rapidamente (checagem).
- Com
,
- Verificação rápida: calcule
a partir desta . Pela derivada já usada, obtém-se
e somando com
dá zero, portanto a condição de incompressibilidade é satisfeita.