A componente x da velocidade em um campo de escoamento permanente é incompressível no plano x y é u=A x /\left(x^{2}+y^{2}\right), onde A=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sendo x e y medidos em metros. Determine a mais simples componente y da velocidade para esse campo de escoamento. Sugestão: Considere a continuidade incompressível, \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \vec{V})=0, sendo \vec{V}=u \hat{\imath}+v \hat{\jmath}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tirei tudo do texto que você mandou):
  • A componente x da velocidade é
u(x,y)=\frac{A x}{x^{2}+y^{2}},
com A=10\\ \mathrm{m/s}. As coordenadas x e y estão em metros.
  • O escoamento é permanente e incompressível no plano x y.
  • A sugestão do enunciado indica usar a equação da continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec{V})=0,
onde \vec{V}=u\hat{\imath}+v\hat{\jmath}.
O que o problema pede:
  • Determinar a componente y da velocidade v(x,y) mais simples que torne o campo de velocidade incompressível (ou seja, que satisfaça a continuidade dada a informação acima).

Passo 2

Entendendo a equação da continuidade no caso dado (explicação didática e sem pular passos).
  • Para um escoamento incompressível a densidade \rho é constante no espaço e no tempo. Portanto \partial \rho/\partial t=0 e a equação da continuidade reduz-se a
\nabla\cdot\vec{V}=0.
  • Em coordenadas cartesianas no plano x y, a divergência do vetor velocidade \vec{V}=u\hat{\imath}+v\hat{\jmath} é a soma das derivadas parciais das componentes:
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.
  • Assim, a condição de incompressibilidade (e escoamento permanente) nos dá a equação diferencial simples
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0.
Isto significa: se soubermos \partial u/\partial x, podemos integrar em y para achar v (até uma função que dependa só de x).

Passo 3

Calcular passo a passo \partial u/\partial x. Vou derivar cuidadosamente.
Temos
u(x,y)=A x (x^{2}+y^{2})^{-1}.
Usando a regra do produto/quotient rule, a derivada em x é
\frac{\partial u}{\partial x}=A\left[1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-1} + x\cdot(-1)(x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x\right].
Agora simplifico termo a termo:
\frac{\partial u}{\partial x}=A\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}} - \frac{2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right).
Colocando sobre o mesmo denominador (x^{2}+y^{2})^{2}:
\frac{\partial u}{\partial x}=A\frac{(x^{2}+y^{2})-2x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = A\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Usar a equação de continuidade \partial u/\partial x+\partial v/\partial y=0.
Substituindo a derivada que encontramos:
\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial u}{\partial x} = -A\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = A\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Integrar \partial v/\partial y em relação a y para obter v(x,y). Vou mostrar um truque de integração que facilita tudo.
Queremos calcular
v(x,y)=\int \frac{\partial v}{\partial y}\,dy = A\int \frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dy + G(x),
onde G(x) é a “constante” de integração que pode depender de x (porque ao integrar em y qualquer função que dependa só de x some como constante).
Agora note a identidade útil (verificação por derivação):
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right) = \frac{(1)(x^{2}+y^{2}) - y(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}} = \frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Portanto a integral é direta:
\int \frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\,dy = \frac{y}{x^{2}+y^{2}} + C(x).
Multiplicando por A e incluindo a G(x) já existente:
v(x,y)=A\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + G(x).

Passo 6

Interpretação da solução geral e escolha da “mais simples” componente v.
  • A solução geral obtida é
v(x,y)=A\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + G(x),
onde G(x) é qualquer função arbitrária de x. Essa liberdade aparece porque a derivada em y de G(x) é zero, então não aparece na equação \partial v/\partial y.
  • O enunciado pede “a mais simples componente y da velocidade”. Sem condições de contorno adicionais, a escolha mais simples é tomar G(x)=0.
  • Assim a escolha mais simples é
v(x,y)=A\frac{y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 7

Substituir o valor numérico de A e verificar rapidamente (checagem).
  • Com A=10\\ \mathrm{m/s},
v(x,y)=10\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\quad (\mathrm{m/s}).
  • Verificação rápida: calcule \partial v/\partial y a partir desta v. Pela derivada já usada, obtém-se
\frac{\partial v}{\partial y}=10\frac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
e somando com \partial u/\partial x=10\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} dá zero, portanto a condição de incompressibilidade é satisfeita.

Resposta

v(x,y)=A\frac{y}{x^{2}+y^{2}}
v(x,y)=10\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\\ \mathrm{m/s}

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