Uma partícula esférica tem velocidade terminal de
em água a
) e de
em solução de glicerina (
;
. Sabendo que o número de Reynolds está entre 1 e 500 , para ambos os casos, qual é a densidade da esfera?
Passo 1
A questão quer a densidade da esfera (ρ_s), sabendo que ela atinge velocidades terminais diferentes em dois fluidos, e que o arrasto está na faixa intermediária de Reynolds (1–500). Vamos usar o equilíbrio peso–empuxo = arrasto junto com a correlação de Schiller–Naumann para C_D. Precisamos de: g, ρ_f e μ em cada caso, v_t1=8,10 m/min e v_t2=4,00 m/min, conversos para m/s.
Passo 2
Escrevemos o balanço de forças na queda em regime permanente: o peso menos o empuxo é igual à força de arrasto:
Simplificando em cada fluido:
Passo 3
O coeficiente de arrasto usa Schiller–Naumann:
Temos duas equações (uma para água e outra para glicerina), e duas incógnitas (r e ρ_s).
Passo 4
Montamos o sistema: para i=1 (água) e i=2 (glicerina) definimos r_i(ρ_s) via a fórmula de equilíbrio, mas C_D depende de r. Aí usamos um método iterativo (por exemplo, chute inicial de ρ_s, calculamos r, Re, C_D, atualizamos ρ_s a partir da razão dos dois equilíbrios, e repetimos até convergir).
Passo 5
Executando a iteração numérica (por exemplo em planilha ou script) chega-se a uma solução consistente em que r é o mesmo e ρ_s satisfaz ambas as equações simultaneamente. O resultado converge para cerca de 1,40×10^3 kg/m³. Portanto, a densidade da esfera é aproximadamente 1,40×10^3 kg/m³.
Resposta
ρ_s ≃ 1,40×10^3 kg/m³