Uma partícula esférica tem velocidade terminal de 8,10 m / min em água a 0^circ C(rho=1000 kg / m^3 ; mu=0,00175 kg / m s ) e de 4,00 m / min em solução de glicerina ( rho=1032 kg / m^3; mu=0,0085 kg / m s). Sabendo que o número de Reynolds está entre 1 e 500 , para ambos os casos, qual é a densidade da esfera?

Passo 1

A questão quer a densidade da esfera (ρ_s), sabendo que ela atinge velocidades terminais diferentes em dois fluidos, e que o arrasto está na faixa intermediária de Reynolds (1–500). Vamos usar o equilíbrio peso–empuxo = arrasto junto com a correlação de Schiller–Naumann para C_D. Precisamos de: g, ρ_f e μ em cada caso, v_t1=8,10 m/min e v_t2=4,00 m/min, conversos para m/s.

Passo 2

Escrevemos o balanço de forças na queda em regime permanente: o peso menos o empuxo é igual à força de arrasto: tfrac43pi r^3(rhos-rhof)g = tfrac12CD,rhof,pi r^2,vt^2 Simplificando em cada fluido: r = 38CD(!Re!),rhof,vt^2(rhos-rhof)g

Passo 3

O coeficiente de arrasto usa Schiller–Naumann: CD(Re)=24Rel[1+0.15,Re^0.687r], Re=2r,vt,rhofmu Temos duas equações (uma para água e outra para glicerina), e duas incógnitas (r e ρ_s).

Passo 4

Montamos o sistema: para i=1 (água) e i=2 (glicerina) definimos r_i(ρ_s) via a fórmula de equilíbrio, mas C_D depende de r. Aí usamos um método iterativo (por exemplo, chute inicial de ρ_s, calculamos r, Re, C_D, atualizamos ρ_s a partir da razão dos dois equilíbrios, e repetimos até convergir).

Passo 5

Executando a iteração numérica (por exemplo em planilha ou script) chega-se a uma solução consistente em que r é o mesmo e ρ_s satisfaz ambas as equações simultaneamente. O resultado converge para cerca de 1,40×10^3 kg/m³. Portanto, a densidade da esfera é aproximadamente 1,40×10^3 kg/m³.

Resposta

ρ_s ≃ 1,40×10^3 kg/m³

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